Enunciado

Calcule a integral indefinida.

int (3 x - 2)^(20) d x

Passo 1

Opa, bora resolver essa integral:

int (3 x - 2)^(20) d x

O problema aqui é que a gente não consegue resolver ela direto usando as primitivas. Então vamos usar uma técnica de integração chamada Regra da Substituição, então mãos a massa!

Vamos fazer uma mudança de variável para encontrar o valor dessa integral, vemos que temos um x , podemos então usar a mudança de variável:

u = 3 x - 2

Dica: o melhor u é aquele que simplifica a nossa integral!

Vamos agora achar diferencial de u , derivando:

d u = 3 - 0 d x = 3 d x -> d x = (d u)/(3)

Vamos agora fazer a substuição:

int (3 x - 2)^(20) d x = int (u^(20))/(3) d u

(1)/(3) int u^(20) d u

Agora fica simples de resolver, vamos lá.

Passo 2

Agora é fácil achar as primitivas da função, usando duas expressões da Tabela de Integrais Indefinidas:

int c f (x) d x = c int f (x) d x

int x^n d x = (x^(n + 1))/(n + 1) + C (n != - 1)

Agora é só aplicar:

(1)/(3) int u^(20) d u = (1)/(3) ((u^(20 + 1))/(20 + 1)) = (1)/(3) (u^(21))/(21) = (u^(21))/(63) + C

Calma, não terminou ainda, não esqueça de voltar para a variável x , é só substituir de volta o que você usou no começo, no caso aqui foi u = 3 x - 2

int (3 x - 2)^(20) d x = int (u^(20))/(3) d u = (u^(21))/(63) + C = ((3 x - 2)^(21))/(63) + C

Prontinho!

Resposta

int (3 x - 2)^(20) d x = ((3 x - 2)^(21))/(63) + C

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