Calcule as integrais nos Exercícios 17-66.

∫ 1 θ 2 cos ⁡ 1 θ sen ⁡ 1 θ d θ

Passo 1

A boa quando você ver uma função dentro da outra é pensar em substituição, chamando a função de dentro de u !

Aqui no nosso caso temos a composta de cos ⁡ θ com   1 θ , então vamos fazer

u = 1 θ

Passo 2

Calcular o d u é só derivar a expressão dada e colocar um d θ no final:

u = 1 θ → d u = 1 θ ' d θ = - 1 θ 2 d θ

Passo 3

Agora é só substituir tudo na integral

∫ 1 θ 2 cos ⁡ 1 θ sen ⁡ 1 θ d θ

Temos então que

∫ 1 θ 2 cos ⁡ u sen ⁡ ( u ) d θ

Agora e o resto da integral? O que fazer com ele? Muitas vezes vamos ter que manipular a expressão do d u . Vem comigo

d u = - 1 θ 2 d θ → - 1 d u = - 1 - 1 θ 2 d θ → - d u = 1 θ 2 d θ

Agora podemos substituir na integral :D

∫ 1 θ 2 cos ⁡ u sen ⁡ ( u ) d θ = ∫ cos ⁡ u sen ⁡ u ( - d u ) = - ∫ sen ⁡ ( u ) cos ⁡ ( u ) d u

Passo 4

A integral acima ainda não está na tabela de primitivas. Então precisamos manipular o integrando um pouco mais. Aqui vamos usar a expressão trigonométrica

sen ⁡ ( 2 u ) = 2 sen ⁡ u cos ⁡ u → sen ⁡ 2 u 2 = cos ⁡ ( u ) sen ⁡ ( u )

Logo,

- ∫ sen ⁡ u cos ⁡ u d u = - ∫ sen ⁡ 2 u 2 d u = - 1 2 ∫ sen ⁡ ( 2 u ) d u

Passo 5

Ainda não temos essa integral na tabela! Mas estou vendo a composta de sen ⁡ u com 2 u . Logo,

s = 2 u → d s = 2 d u → d s 2 = d u

- 1 2 ∫ sen ⁡ 2 u d u = - 1 2 ∫ sen ⁡ s d s 2 = - 1 4 ∫ sen ⁡ ( s ) d s

UFA! Agora temos a integral na tabela

- 1 4 ∫ sen ⁡ s d s = - 1 4 - cos ⁡ s + C

OBS: não vai esquecer dessa constante de integração hem!

Agora precisamos voltar para a variável inicial do problema. Mas isso é mole mole porque é só lembrar de quem chamamos de u lá no início.

∫ 1 θ 2 cos ⁡ 1 θ sen ⁡ 1 θ d θ = - 1 4 - cos ⁡ 1 θ + C

Resposta

1 4 cos ⁡ 1 θ + C

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados