Enunciado

Determine uma janela retangular apropriada para a função dada e use-a para fazer o gráfico da função.

f x = x 3 + 15 x 2 + 65 x

Passo 1

Falaaaaaa aí, belezinha??

Bom... a questão nos pede para determinar uma janela retangular apropriada para a funç��o

f x = x 3 + 15 x 2 + 65 x

E use-a para fazer o gráfico da função.

Mas que janela é essa??

Então... quando a gente olha um gráfico, a gente quer tirar todas as informações que estão contidas nele. E, para isso, o gráfico não pode estar nem grande demais para o plano cartesiano e nem pequeno demais.

O tamanho ideal é aquele que contém o máximo de informações possíveis que podemos extrair do gráfico.

Para isso, precisamos calcular pontos chaves que nos dirão o tamanho correto da janela.

E aí? Bora lá??

Passo 2

Da nossa função, temos:

f x = x 3 + 15 x 2 + 65 x

De cara, já vemos que x = 0 é uma das raízes, pois:

x 3 + 15 x 2 + 65 x = 0 ∴ x x 2 + 15 x + 65 = 0

Agora, vamos encontrar os pontos de máximo e mínimo da nossa expressão (já que temos uma função de grau 3 ):

Derivando pelo método de derivação polinomial, temos:

f x = x 3 + 15 x 2 + 65 x → f ' x = 3 x 3 - 1 + 15 2 x 2 - 1 + 65 x 1 - 1

f ' x = 3 x 2 + 30 x + 65

Calculando as raízes, obtemos:

x 1 = - 3,174

x 2 = - 6,826

Para determinar qual é de máximo e qual é de mínimo, vamos substituir em f e verificar qual é maior e qual é menor.

f x 1 = - 3,174 3 + 15 - 3,174 2 + 65 - 3,174 = - 87,171

f x 2 = - 6,826 3 + 15 - 6,826 2 + 65 - 6,826 = - 62,828

Portanto em x = - 3,174 temos um ponto de mínimo em y = - 87,171 e em x = - 6,826 temos um ponto de máximo em que y = - 62,828 .

Assim, vemos que uma janela boa para podermos ver essas informações deve ser um pouco maior que os intervalos desses pontos, então podemos definir uma janela como x = - 10,2 e y = 50 , - 150 :

Tranquilo até aqui?

Passo 3

Agora temos que esboçar o gráfico de f ...

Perceba que quando x for muito grande, f tambem será muito grande (a mesma coisa se x for muito grande negativamente, f tambem será grande negativamente).

Então f tende a se x tender a e se x tende a - ∞ , f tambem tende a - ∞ .

Vimos tambem que os pontos - 3,174 ; - 87,171 e - 6,826 ; - 62,828 são extremos locais e que x = 0 é uma raiz de f .

Unindo essas informações em um gráfico, podemos esboçar f como

E aí! o que achou? Responde Aí!

Resposta

- 10,2 e 50 , - 150

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

O exercício a seguir apresenta uma equação de elipse. Coloque a equação no formato padrão e esboce a elipse. x + 1 2 + 2 y 2 = 4
Faça o gráfico das funções f x =x e g x =1 - x juntamente com seus:d) dois quocientes.
Faça o gráfico das funções f x =x e g x =1 - x juntamente com suas:c) duas diferenças.
A figura a seguir mostra o gráfico de y = - x 2 transladado para duas novas posições. Escreva equações para os novos gráficos.
Faça o gráfico da funçãoy = (1)/(x) + 2