Enunciado

Calcule a integral indefinida.

int (d x)/(a x + b) (a != 0)

Passo 1

Bem, aqui vamos usar a Regra da Substituição, então mãos a massa, vamos fazer uma mudança de variável para encontrar o valor dessa integral, vemos que temos um x no denominador, podemos então usar a mudança de variável:

u = a x + b

Vamos agora achar diferencial de u , derivando:

d u = a + 0 x^2 d x = a d x -> d x = (d u)/(a)

Vamos agora fazer a substuição:

int (d x)/(a x + b) = int (1)/(a u) d u

Agora fica simples de resolver, vamos lá.

Passo 2

Agora é fácil achar as primitivas da função, usando duas expressões da Tabela de Integrais Indefinidas:

int c f (x) d x = c int f (x) d x

int (1)/(x) d x = ln |x| + C

Agora é só aplicar:

int (1)/(a u) d u = (1)/(a) int (1)/(u) d u = (1)/(a) ln |u| + C

Calma, não terminou ainda, não esqueça de voltar para a variável x , é só substituir de volta o que você usou no começo, no caso aqui foi u = a x + b :

int (d x)/(a x + b) = int (1)/(a u) d u = (1)/(a) ln |u| + C = (1)/(a) ln |a x + b| + C

Resposta

int (d x)/(a x + b) = (1)/(a) ln |a x + b| + C

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