Enunciado

A curva dada é girada em torno do eixo y . Calcule a área da superfície resultante

y = 1 - x 2 ,     0 ≤ x ≤ 1

Passo 1

Fala, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente calcular a área da superfície que é obtida pela rotação da curva y = 1 - x 2 em torno do eixo y , no intervalo [ 0 ,   1 ] .

Primeiro, precisamos lembrar como é a área de uma superfície de revolução, que é da seguinte forma:

S = ∫ c d 2 π x 1 + d y d x 2   d x

Então, vamos primeiro calcular a derivada, d y d x , da função. Depois, vamos substituir na fórmula para obter nossa área de rotação.

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar calculando a derivada de y = 1 - x 2 , em relação a x :

y ' = d y d x = - 2 x

Agora, vamos calcular o termo da raiz, substituindo o resultado da derivada que encontramos:

1 + d y d x 2 = 1 + 4 x 2

Passo 3

Agora, podemos calcular S , só substituirmos o que já encontramos nos passos anteriores:

S = ∫ 0 1 2 π x 1 + 4 x 2   d x

= 2 π ∫ 0 1 x 4 x 2 + 1   d x

Vamos resolver essa integral pelo método da substituição. Então, vamos definir:

u = 4 x 2 + 1

d u = 8 x   d x

Substituindo, ficamos com:

2 π ∫ 0 1 x 4 x 2 + 1   d x

= 2 π ∫ u 1 u 2 u d u 8

Colocando as constantes do lado de fora:

= π 4 ∫ u 1 u 2 u   d u

E integrando, temos:

π 4 2 3 u 3 2 u 1 u 2

Agora vamos voltar à nossa variável original x , antes de aplicar o intervalo:

= π 6 4 x 2 + 1 2 3 0 1

E aplicando o intervalo de integração, teremos:

= π 6 5 5 - 1

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

S = π 6 5 5 - 1

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