Enunciado

Calcule a integral indefinida.

int e^x sqrt(1 + e^x) d x

Passo 1

Bem, aqui vamos usar a Regra da Substituição, então mãos a massa, vamos fazer uma mudança de variável para encontrar o valor dessa integral, vemos que temos um e^x dentro da raiz e fora, como a derivada de e^x é e^x , podemos então usar a mudança de variável:

u = 1 + e^x

Vamos agora achar diferencial de u , derivando:

d u = 0 + e^x d x = e^x d x

Vamos agora fazer a substuição:

int e^x sqrt(1 + e^x) d x = int sqrt(u) d u

Agora fica simples de resolver, vamos lá.

Passo 2

Agora é fácil achar as primitivas da função, usando uma expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

int x^n d x = (x^(n + 1))/(n + 1) + C (n != - 1)

Agora é só aplicar:

int sqrt(u) d u = int u^((1)/(2)) d u = (u^((1)/(2) + 1))/((1)/(2) + 1) = (u^((3)/(2)))/((3)/(2)) = (2 u^((3)/(2)))/(3) + C

Calma, não terminou ainda, não esqueça de voltar para a variável x , é só substituir de volta o que você usou no começo, no caso aqui foi u = 1 + e^x :

int e^x sqrt(1 + e^x) d x = int u^((1)/(2)) d u = (2 u^((3)/(2)))/(3) + C = (2 (1 + e^x)^((3)/(2)))/(3) + C

Resposta

int e^x sqrt(1 + e^x) d x = (2 (1 + e^x)^((3)/(2)))/(3) + C

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