Calcule a integral.

∫ cos 5 ⁡ α s e n   α   d α

Passo 1

A questão pede para calcularmos a integral indefinida. Note que aparecem funções seno e cosseno e temos um expoente ímpar no cosseno: isso é sempre bom!!!

Temos que cos 5 ⁡ α = cos 4 ⁡ α cos ⁡ α = 1 - s e n 2 α 2 cos ⁡ α . Desta forma, a integral fica:

∫ cos 5 ⁡ α s e n   α   d α = ∫ 1 - s e n 2 α 2 s e n   α cos ⁡ α   d α

Como a derivada do seno é cosseno, a substituição u = s e n   α vai resolver nosso problema, pois d u = cos ⁡ α   d α .

Passo 2

Fazendo a substituição, a integral fica:

∫ cos 5 ⁡ α s e n   α   d α = ∫ 1 - u 2 2 u   d u = ∫ 1 - 2 u 2 + u 4 u 1 / 2   d u = ∫ u - 1 2 - 2 u 3 2 + u 7 2 d u

Passo 3

Efetuando a integral:

∫ cos 5 ⁡ α s e n   α   d α = u 1 2 1 2 - 2 u 5 2 5 2 + u 9 2 9 2 + C = 2 u - 4 5 u 5 + 2 9 u 9 + C

Voltando a variável original:

∫ cos 5 ⁡ α s e n   α   d α = 2 s e n   α - 4 5 s e n 5 α + 2 9 s e n 9 α + C

Resposta

2 s e n   α - 4 5 s e n 5 α + 2 9 s e n 9 α + C

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