Calcule a integral

∫ s e n   x cos ⁡ x s e n 4 x + cos 4 ⁡ x   d x

Passo 1

Boa galera, nesse exercício iremos utilizar as técnicas de integração estudadas e as estratégias abordadas nesse capítulo para resolver a integral.

Dessa forma, queremos encontrar o resultado para a integral da maneira mais prática de acordo com as técnicas de integração deste capítulo.

Como temos que integrar uma função trigonométrica, vamos aproveitar e utilizar das propriedades trigonométricas afim de simplificar a função.

Passo 2

Podemos reescrever a integral da seguinte maneira

∫ s e n   x cos ⁡ x s e n 4 x + cos 4 ⁡ x   d x

Dividindo ambos por cos 4 ⁡ x

= ∫ ( s e n   x cos ⁡ x ) / cos 4 ⁡ x ( s e n 4 x + cos 4 ⁡ x ) / cos 4 ⁡ x   d x

∫ s e n   x cos ⁡ x cos 4 ⁡ x ( s e n 4 x + cos 4 ⁡ x ) / cos 4 ⁡ x   d x

∫ s e n   x cos 2 ⁡ x cos ⁡ x ( s e n 4 x + cos 4 ⁡ x ) / cos 4 ⁡ x   d x

= ∫ tan ⁡ x sec 2 ⁡ x tan 4 ⁡ x + 1   d x

Passo 3

Utilizando a seguinte substituição, temos

u = tan 2 ⁡ x ; d u = 2 tan ⁡ x sec 2 ⁡ x d x

∫ tan ⁡ x sec 2 ⁡ x tan 4 ⁡ x + 1   d x = 1 2 ∫ 1 u 2 + 1   d u

Resolvendo a integral com o auxílio da tabela abaixo:

1 2 ∫ 1 u 2 + 1   d u = 1 2 tan - 1 ⁡ u + C

Voltando para x , temos

1 2 tan - 1 ⁡ u + C = 1 2 tan - 1 ⁡ tan 2 ⁡ x + C

Resposta

∫ s e n   x cos ⁡ x s e n 4 x + cos 4 ⁡ x   d x = 1 2 tan - 1 ⁡ tan 2 ⁡ x + C

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