Calcule a integral indefinida:

∫ x 2 4 - x 2 d x

Passo 1

Para resolver essa integral vamos fazer uma substituição trigonométrica, temos que a expressão é da forma a 2 - x 2 , nesse formato de expressão vamos fazer x = a sen ⁡ θ e utilizar a identidade trigonométrica sen 2 ⁡ θ + cos 2 ⁡ θ = 1 :

x = 2 sen ⁡ θ → θ = arcsen ⁡ x 2

d x = 2 cos ⁡ θ d θ

Substituindo temos:

∫ x 2 4 - x 2 d x = ∫ 4 sen 2 ⁡ θ 4 - 4 sen 2 ⁡ θ 2 cos ⁡ θ d θ =

= ∫ 4 sen 2 ⁡ θ 4 1 - sen 2 ⁡ θ 2 cos ⁡ θ d θ

Agora usando a identidade trigonométrica:

∫ 4 sen 2 ⁡ θ 4 1 - sen 2 ⁡ θ 2 cos ⁡ θ d θ = ∫ 4 1 - cos 2 ⁡ θ 4 cos 2 ⁡ θ 2 cos ⁡ θ d θ =

= ∫ 4 1 - cos 2 ⁡ θ 2 cos ⁡ θ 2 cos ⁡ θ d θ = 16 ∫ 1 - cos 2 ⁡ θ cos 2 ⁡ θ d θ =

= 16 ∫ cos 2 ⁡ θ - cos 4 ⁡ θ d θ = 16 ∫ cos 2 ⁡ θ d θ + 16 ∫ - cos 4 ⁡ θ d θ

Passo 2

Para calcular a segunda integral vamos usar a fórmula da Recorrência:

∫ cos n ⁡ u d u = 1 n cos n - 1 ⁡ u sen ⁡ u + n - 1 n ∫ cos n - 2 ⁡ u d u

Aplicando vamos ter:

∫ cos 4 ⁡ θ d θ = 1 4 cos 4 - 1 ⁡ θ sen ⁡ θ + 4 - 1 4 ∫ cos 4 - 2 ⁡ θ d θ

∫ cos 4 ⁡ θ d θ = 1 4 cos 3 ⁡ θ sen ⁡ θ + 3 4 ∫ cos 2 ⁡ θ d θ

∫ cos 4 ⁡ θ d θ = 1 4 cos 3 ⁡ θ sen ⁡ θ + 3 4 ∫ 1 2 + 1 2 cos ⁡ 2 θ d θ

∫ cos 4 ⁡ θ d θ = 1 4 cos 3 ⁡ θ sen ⁡ θ + 3 4 ∫ 1 2 d θ + ∫ 1 2 cos ⁡ 2 θ d θ

Passo 3

Agora é fácil achar as primitivas da função, usando as expressões da Tabela de Integrais Indefinidas:

∫ k   d x = k x + C

∫ cos ⁡ x d x = sen ⁡ x + C

Agora é só aplicar:

∫ 1 2 d θ + ∫ 1 2 cos ⁡ 2 θ d θ = 1 2 θ + 1 4 sen ⁡ 2 θ + C

Passo 4

Agora é só juntar tudo:

∫ x 2 4 - x 2 d x = 16 ∫ cos 2 ⁡ θ d θ + 16 ∫ - cos 4 ⁡ θ d θ =

= 16 1 2 θ + 1 4 sen ⁡ 2 θ - 16 1 4 cos 3 ⁡ θ sen ⁡ θ + 3 4 ∫ 1 2 d θ + ∫ 1 2 cos ⁡ 2 θ d θ =

= 8 θ + 4 sen ⁡ 2 θ + - 4 cos 3 ⁡ θ sen ⁡ θ - 12 1 2 θ + 1 4 sen ⁡ 2 θ =

= 8 θ + 4 sen ⁡ 2 θ - 4 cos 3 ⁡ θ sen ⁡ θ - 6 θ - 3 sen ⁡ 2 θ = 2 θ + sen ⁡ 2 θ - 4 cos 3 ⁡ θ sen ⁡ θ

Passo 5

Calma, não terminou ainda, vamos ter que voltar para a variável original x , temos que x = 2 sen ⁡ θ , ou seja, sen ⁡ θ = x 2 , assim vamos usar o triângulo retângulo abaixo para achar cos ⁡ θ e sen ⁡ 2 θ :

Assim:

cos ⁡ θ = 4 - x 2 2

sen ⁡ 2 θ = 2 sen ⁡ θ cos ⁡ θ = 2 ⋅ x 2 ⋅ 4 - x 2 2 = x 4 - x 2 2

Passo 6

Pronto, agora é só substituir e ficamos então com:

∫ x 2 4 - x 2 d x = 2 θ + sen ⁡ 2 θ - 4 cos 3 ⁡ θ sen ⁡ θ + C =

= 2 arcsen ⁡ x 2 + x 4 - x 2 2 - 4 4 - x 2 2 3 x 2 + C =

= 2 arcsen ⁡ x 2 + x 4 - x 2 2 - 4 4 - x 2 2 3 x 2 + C =

= 2 arcsen ⁡ x 2 + x 4 - x 2 2 - 2 x 4 - x 2 4 - x 2 8 3 + C =

= 2 arcsen ⁡ x 2 + x 4 - x 2 2 - x 4 - x 2 4 - x 2 4 3 + C

Resposta

∫ x 2 4 - x 2 d x = 2 arcsen ⁡ x 2 + x 4 - x 2 2 - x 4 - x 2 4 - x 2 4 3 + C

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