Calcule a integral indefinida:

∫ d x x 2 x 2 - 5  

Passo 1

Para resolver essa integral vamos fazer uma substituição trigonométrica, temos que a expressão é da forma x 2 - a 2 , nesse formato de expressão vamos fazer x = a sec ⁡ θ e utilizar a identidade trigonométrica 1 + tg 2 ⁡ θ = sec 2 ⁡ θ :

x = 5 sec ⁡ θ

d x = 5 sec ⁡ θ tg ⁡ θ d θ

Substituindo temos:

∫ d x x 2 x 2 - 5   = ∫ 1 5 sec 2 ⁡ θ 5 sec 2 ⁡ θ - 5   5 sec ⁡ θ tg ⁡ θ d θ = ∫ 5 sec ⁡ θ tg ⁡ θ 5 sec 2 ⁡ θ 5 sec 2 ⁡ θ - 1   d θ

Agora usando a identidade trigonométrica:

∫ 5 sec ⁡ θ tg ⁡ θ 5 sec 2 ⁡ θ 5 sec 2 ⁡ θ - 1   d θ = ∫ 5 sec ⁡ θ tg ⁡ θ 5 sec 2 ⁡ θ 5 tg 2 ⁡ θ   d θ = ∫ 5 sec ⁡ θ tg ⁡ θ 5 sec 2 ⁡ θ tg ⁡ θ 5   d θ =

= ∫ 1 5 sec ⁡ θ   d θ

Passo 2

Agora vamos colocar tudo em termos de seno e/ou cosseno:

∫ 1 5 sec ⁡ θ   d θ ∫ 1 5 ⋅ 1 cos ⁡ θ   d θ = ∫ cos ⁡ θ 5   d θ = 1 5 ∫ cos ⁡ θ   d θ

Agora é fácil achar as primitivas da função, usando uma expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

∫ cos ⁡ x d x = sen ⁡ x + C

Agora é só aplicar:

1 5 ∫ cos ⁡ θ   d θ = 1 5 sen ⁡ θ + C

Passo 3

Calma, não terminou ainda, vamos ter que voltar para a variável original x , temos que x = 5 sec ⁡ θ , ou seja, sec ⁡ θ = x 5 , assim vamos usar o triângulo retângulo abaixo para achar sen ⁡ θ :

Assim o valor de sen ⁡ θ é:

sen ⁡ θ = x 2 - 5 x

Pronto, ficamos então com:

∫ d x x 2 x 2 - 5   = 1 5 ∫ cos ⁡ θ   d θ = 1 5 sen ⁡ θ + C = 1 5 ⋅ x 2 - 5 x + C = x 2 - 5 5 x + C

Resposta

∫ d x x 2 x 2 - 5   = x 2 - 5 5 x + C

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