Calcule a integral indefinida:

∫ d x cotg ⁡ 2 x ( 1 - cos ⁡ 2 x )

Passo 1

Pessoal, para resolver essa integral, vamos começar a manipular o integrando para tentar chegar em algo que nós conhecemos. Começamos com o seguinte:

∫ d x cotg ⁡ 2 x ( 1 - cos ⁡ 2 x ) = ∫ d x cos ⁡ 2 x sen ⁡ 2 x ( 1 - cos ⁡ 2 x ) = ∫ sen ⁡ 2 x d x cos ⁡ 2 x ( 1 - cos ⁡ 2 x )

Perceba que agora cabe uma substituição simples.

Passo 2

Vamos fazer a substituição cos ⁡ 2 x = u     →   - 2 sen ⁡ 2 x d x = d u     →       sen ⁡ 2 x d x = - d u 2 .

∫ sen ⁡ 2 x d x cos ⁡ 2 x ( 1 - cos ⁡ 2 x ) = ∫ - d u 2 u ( 1 - u ) = 1 2 ∫ d u u ( u - 1 )

Agora ficou mais tranquilo.

Passo 3

Aqui nós podemos utilizar frações parciais para resolver, porém, como o exercício não é especificamente de frações parciais, vamos utilizar a fórmula:

1 x - a x - b = 1 a - b x - a + 1 b - a x - b

Dessa forma, para a = 0 e b = 1 , ficamos com:

1 2 ∫ d u u ( u - 1 ) = 1 2 ∫ 1 - 1 u + 1 1 u - 1 d u = 1 2 ∫ - 1 u + 1 u - 1 d u

Basta lembrar que ∫ 1 x - a d x = ln ⁡ x - a + C . Então,

1 2 ∫ - 1 u + 1 u - 1 d u = 1 2 ( - ln ⁡ u + ln ⁡ | u - 1 | ) + C

Passo 4

Como a integral foi dada na variável x , devemos dar a resposta nesta variável. Lembrando que cos ⁡ 2 x = u , ficamos com:

∫ d x cotg ⁡ 2 x ( 1 - cos ⁡ 2 x ) = 1 2 ( - ln ⁡ cos ⁡ 2 x + ln ⁡ | cos ⁡ 2 x - 1 | ) + C

Resposta

∫ d x cotg ⁡ 2 x ( 1 - cos ⁡ 2 x ) = 1 2 ( - ln ⁡ cos ⁡ 2 x + ln ⁡ | cos ⁡ 2 x - 1 | ) + C

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