Questão 29) Calcule a integral definida:

∫ 0 1 s e n 2 π t . c o s ² π t   d t

Passo 1

Se usarmos a identidade s e n x . c o s x = 1 2 s e n 2 x vai simplificar e muito o problema, veja

s e n 2 π t . c o s 2 π t = s e n π t . c o s π t 2 = 1 2 s e n 2 π t

Substituindo no integrando e usando a identidade s e n 2 x + c o s 2 x = 1 , temos

Passo 2

∫   s e n 2 π t . c o s ² π t   d t = 1 4 ∫ s e n ² 2 π t d t =   1 4 ∫ 1 - c o s 2 π t 2 d t  

                                                          = 1 8 ( t - s e n 2 π t 2 π )

Passo 3

Aplicando os intervalos, temos

∫ 0 1 s e n 2 π t . c o s ² π t   d t = 1 8 ( t - s e n 2 π t 2 π ) 0 1

∫ 0 1 s e n 2 π t . c o s ² π t   d t = 1 8

Resposta

∫ 0 1 s e n 2 π t . c o s ² π t   d t = 1 8

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