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Calcule a integral indefinida como uma série de potências. Qual é o raio de convergência?

∫ x 2 ln ⁡ 1 + x d x

Passo 1

Primeiro precisamos descobrir qual a série de potência de x 2 ln ⁡ 1 + x , após encontra-lá podemos calcular a integral.

Para encontrar a série de potência de x 2 ln ⁡ 1 + x , vamos calcular primeiramente ln ⁡ 1 + x e depois multiplicar o resultado por x ² .

1 1 + x = 1 1 - - x = 1 - x + x 2 - x 3 + …

Integrando ambos os lados:

∫ 1 1 + x d x = ∫ 1 - x + x 2 - x 3 + …   d x

ln ⁡ ( 1 + x ) = x - x 2 2 + x 3 3 - … + C

Se fizermos x = 0 veremos que C = 0 .

Então:

ln ⁡ 1 + x = ∑ n = 1 ∞ ( - 1 ) n - 1 x n n

Multiplicando ambos os lados por x ² :

x ² ln ⁡ 1 + x = ∑ n = 1 ∞ ( - 1 ) n - 1 x n + 2 n

Passo 2

Agora que sabemos qual é a série de potência podemos calular a integral.

∫ x 2 ln ⁡ 1 + x d x = ∫ ∑ n = 1 ∞ ( - 1 ) n - 1 x n + 2 n d x = ∑ n = 1 ∞ ( - 1 ) n - 1 x n + 3 n ( n + 3 )

Passo 3

Calculando o raio de convergência:

R = lim n → ∞ ⁡ c n c n + 1 = lim n → ∞ ⁡ ( n + 1 ) ( n + 4 ) n ( n + 3 )   = lim n → ∞ ⁡ n 1 + 1 n n ( 1 + 4 n ) n ² ( 1 + 3 n ) = lim n → ∞ ⁡ 1 1 = 1

Resposta

∫ x 2 ln ⁡ 1 + x d x

Raio de convergência: R = 1

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