Calcule a integral indefinida.

∫ tan 2 ⁡ 4 x cos 4 ⁡ 4 x   d x

Passo 1

Devemos calcular a integral fornecida. Geralmente não gostamos de misturar tangente com cosseno nas integrais, então vamos usar que

tan ⁡ 4 x = s e n   4 x cos ⁡ 4 x

para simplificar um pouco as coisas:

I = ∫ tan 2 ⁡ 4 x cos 4 ⁡ 4 x   d x = ∫ s e n 2 4 x cos 2 ⁡ 4 x ⋅ cos 4 ⁡ 4 x d x = ∫ s e n 2 4 x cos 2 ⁡ 4 x   d x

Agora vamos fazer a substituição t = 4 x ⇒ d t = 4 d x . Assim

I = 1 4 ∫ s e n 2 t cos 2 ⁡ t   d t = 1 4 ∫ 1 - cos 2 ⁡ t cos 2 ⁡ t   d t

Desta forma, podemos separar o problema em duas integrais:

I = 1 4 ∫ cos 2 ⁡ t   d t - 1 4 ∫ cos 4 ⁡ t   d t = 1 4 I 1 - 1 4 I 2 ,

onde

I 1 = ∫ cos 2 ⁡ t   d t               e                 I 2 = ∫ cos 4 ⁡ t   d t

Essa dica de separar em integrais é bem importante: se você tentar calcular todas as integrais juntas, sem separar, é bem grande a chance de você se embananar todo e errar alguma coisa. Então sempre seja bem organizado e separe as integrais!

Passo 2

Vamos calcular primeiro I 1 usando que

cos 2 ⁡ t = 1 + cos ⁡ 2 t 2

Assim,

I 1 = 1 2 ∫ 1 + cos ⁡ 2 t   d t = 1 2 t + 1 2 s e n   2 t = 1 2 t + 1 4 s e n   2 t

*Não vou me preocupar com as constantes de integração agora, só no final.

Passo 3

Já para I 2 , vamos primeiro escrever

I 2 = ∫ cos 2 ⁡ t 2   d t ,

e fazer a mesma substituição que fizemos para I 1 :

I 2 = ∫ 1 + cos ⁡ 2 t 2 2   d t = 1 4 ∫ 1 + 2 cos ⁡ 2 t + cos 2 ⁡ 2 t   d t

Assim,

I 2 = 1 4 t + 1 4 s e n   2 t + 1 4 ∫ cos 2 ⁡ 2 t   d t

Para fazer essa última integral, vamos a mesma fórmula:

cos 2 ⁡ 2 t = 1 + cos ⁡ 4 t 2

Portanto,

I 2 = 1 4 t + 1 4 s e n   2 t + 1 8 ∫ 1 + cos ⁡ 4 t   d t = 1 4 t + 1 4 s e n   2 t + 1 8 t + 1 32 s e n   4 t

Assim,

I 2 = 3 8 t + 1 4 s e n   2 t + 1 32 s e n   4 t

Passo 4

Agora podemos voltar para I :

I = 1 4 I 1 - 1 4 I 2 = 1 8 t + 1 16 s e n   2 t - 3 32 t - 1 16 s e n   2 t - 1 128 s e n   4 t

Portanto,

I = 1 32 t - 1 128 s e n   4 t

Lembrando que t = 4 x e adicionando a constante de integração:

I = 1 8 x - 1 128 s e n   16 x + C

Ufa!

Resposta

1 8 x - 1 128 s e n   16 x + C

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