Calcule a integral indefinida.

∫ t   2 t - t 2   d t

Passo 1

A questão pede para calcularmos a integral indefinida. Essa é a típica integral em que teremos que fazer uma substituição trigonométrica para eliminar a raiz. Mas antes disso, precisamos escrever o termo dentro da raiz de um jeito mais amigável:

2 t - t 2 = 2 t - t 2 - 1 + 1 = 1 - t 2 - 2 t + 1 = 1 - t - 1 2

Assim,

I = ∫ t   2 t - t 2   d t = ∫ t   1 - t - 1 2   d t

Fazendo a mudança de variável x = t - 1 , temos que

I = ∫ x + 1 1 - x 2   d x

Passo 2

Agora podemos fazer a substituição trigonométrica x = s e n   θ , de modo que

1 - x 2 = 1 - s e n 2 θ = cos ⁡ θ

Além disso,

d x = cos ⁡ θ   d θ

Portanto,

I = ∫ 1 + s e n   θ cos ⁡ θ ⋅ cos ⁡ θ   d θ = ∫ 1 + s e n   θ cos 2 ⁡ θ   d θ

Podemos quebrar essa integral em duas:

I = ∫ cos 2 ⁡ θ   d θ + ∫ s e n   θ cos 2 ⁡ θ   d θ = I 1 + I 2 ,

onde

I 1 = ∫ cos 2 ⁡ θ   d θ           e           I 2 = ∫ s e n   θ cos 2 ⁡ θ   d θ

Passo 3

Para calcular I 1 , lembre-se que

cos 2 ⁡ θ = 1 + cos ⁡ 2 θ 2

Assim,

I 1 = 1 2 ∫ 1 + cos ⁡ 2 θ   d θ = 1 2 θ + 1 4 s e n   2 θ

Agora, para achar I 2 vamos fazer a substituição u = cos ⁡ θ , assim d u = - s e n   θ   d θ . Portanto,

I 2 = - ∫ u 2   d u = - u 3 3 = - cos 3 ⁡ θ 3

Passo 4

Agora podemos escrever I :

I = I 1 + I 2 = 1 2 θ + 1 4 s e n   2 θ - cos 3 ⁡ θ 3 + C

Lembrando que s e n   2 θ = 2   s e n   θ cos ⁡ θ , temos que

I = 1 2 θ + 1 2 s e n   θ cos ⁡ θ - cos 3 ⁡ θ 3 + C

Agora vem a parte mais chata, escrever tudo em função de x para depois escrever em função de t ...

Sabemos que s e n   θ = x . Assim,

s e n 2 θ + cos 2 ⁡ θ = 1 ⇒ cos ⁡ θ = 1 - s e n 2 θ = 1 - x 2

Além disso, θ = a r c s e n   x . Portanto,

I = 1 2 a r c s e n   x + 1 2 x 1 - x 2 - 1 - x 2 3 3 + C

Por fim, temos que x = t - 1 e 1 - x 2 = 2 t - t 2 . Logo,

I = 1 2 a r c s e n   t - 1 + 1 2 t - 1 2 t - t 2 - 2 t - t 2 3 3 + C

Resposta

1 2 a r c s e n   t - 1 + 1 2 t - 1 2 t - t 2 - 2 t - t 2 3 3 + C

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