Enunciado

Calcule a integral, interpretando-a em termo de áreas.

∫ - 5 5     x - 25 - x 2 d x  

Passo 1

Olá, meu nobre. Yuri aqui e estarei te ajudando com essa resolução.

O que a questão nos pede é para calcularmos a integral, porém resolvendo ela utilizando o conceito de que uma integral é a área abaixo do grafico da função, delimitada pelos limites de integração da integral dada.

Vamos desenhar o gráfico, da função f x =   x - 25 - x 2   para analisarmos qual a área dada.

Perceba que a área da região que precisamos calcular não é tão trivial. Mas, e se utilizarmos a propriedade

∫ - 5 5     x - 25 - x 2 d x   =

∫ - 5 5 x d x - ∫ - 5 5 25 - x 2 d x

Agora temos duas regiões, vamos dar uma olhadinha nelas:

Para a primeira integral temos a área resultante desses 2 triângulos,

E para a segunda integral temos um semicírculo.

Passo 2

Calculando a área dos 2 triângulos:

A 1 = b ∙ h 2 = 1 2 5 5

A 2 = b ∙ h 2 = 1 2 5 5

Temos então que

A 1 = A 2 = 25 2

Como temos que subtrair A 1 de A 2 , a área resultante é 0.

Passo 3

Agora vamos calcular a área da semicircunferência:

Podemos observar pelo gráfico que temos um raio de 5.

A   =   1 2 π r 2

A   =   1 2 π 5 2

A = 25 2 π

Passo 4

Substituindo, calculando a área total:

A = 0 + 25 2 π

A = 0 + 25 2 π = 25 2 π

Resposta

A = 25 2 π

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