Enunciado

Encontre o número c que satisfaça à conclusão do Teorema do Valor Médio para o intervalo dado. Desenhe o gráfico da função, a reta secante passando pelas extremidades, e a reta tangente em (c, f (c)). A reta secante e a reta tangente são paralelas?

f x = e - x           [ 0,2 ]

Passo 1

Para acharmos o valor c, usaremos o teorema do valor médio em que uma equação deve ser continua em um intervalo [a,b] e derivável em (a,b). Sendo que existe um numero c em (a,b), tal que

f ' c = f b - f ( a ) b - a

Tendo essas informações podemos calcular!!

Passo 2

A nossa função f x = e - x é contínua em [0,2] e derivável em (0,2), portanto,

f ' c = f 2 - f ( 0 ) 2 - 0

Substituindo o intervalo [0,2] na função,

f 0 = e 0

f 0 = 1

f 2 = e - 2

f 2 = 1 e 2

Derivando a equação,

f x = e - x

f ' x = - 1 e x

Agora, é só substituirmos,

- 1 e c = e - 2 - 1 2 - 0

- 1 e c = e - 2 - 1 2

e c ( e - 2 - 1 ) = - 2

e c = - 2 ( e - 2 - 1 )

Vamos simplificar os cálculos realizando as operações necessárias

e c = - 2 ( 1 e 2 - 1 )

e c = - 2 ( 1 - e 2 e 2 )

e c = - 2 e 2 1 - e 2

Agora é só aplicar o logaritmo natural,

c = ln ⁡ ( - 2 e 2 1 - e 2 )

c ≅ 0,84

Passo 3

O gráfico dessa função é representado da seguinte forma

Com isso vemos a reta secante passando pelas extremidades, e a reta tangente em (c, f (c)), de forma que as duas são paralelas.

Resposta

c ≅ 0,8 4 ; as duas são paralelas.

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