Enunciado

Calcule a integral iterada.

int_0^1 int_0^(e^v) sqrt(1 - e^v) d w d v

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

Primeiro, vamos integrar a função com relação a w e considerar v como uma constante:

int_0^1 int_0^(e^v) sqrt(1 + e^v) d w d v

int_0^1 sqrt(1 + e^v) (int_0^(e^v) d w) d v

int_0^(e^v) d w = [w]_0^(e^v)

int_0^(e^v) d w = e^v

Logo:

int_0^1 int_0^(e^v) sqrt(1 + e^v) d w d v = int_0^1 e^v sqrt(1 + e^v) d v

Passo 2

Como temos uma multiplicação de funções com relação a v , temos que aplicar algum método para resolver.

Vamos tentar o método de substituição. Consideraremos t = 1 + e^v . Logo:

d t = e^v d v

Vamos testar se houve alteração nos limites de integração:

Quando v = 0 , então t = 1 + e^0 = 2 .

Quando v = 1 , então t = 1 + e^1 = 1 + e .

Podemos dizer então que:

int_0^1 e^v sqrt(1 + e^v) d v = int_2^(1 + e) sqrt(t) d t

Portanto:

int_2^(1 + e) t d t = [(t^((3)/(2)))/((3)/(2))]_2^(1 + e)

int_2^(1 + e) t d t = (2)/(3) [(1 + e)^(3 // 2) - (2)^(3 // 2)]

int_2^(1 + e) t d t = (2)/(3) [(1 + e)^(3 // 2) - 2 sqrt(2)]

int_2^(1 + e) t d t = (2)/(3) [(1 + e)^(3 // 2) - 2 sqrt(2)]

Então:

int_0^1 int_0^(e^v) sqrt(1 + e^v) d w d v = (2)/(3) [(1 + e)^(3 // 2) - 2 sqrt(2)]

Resposta

int_0^1 int_0^(e^v) sqrt(1 + e^v) d w d v = (2)/(3) [(1 + e)^(3 // 2) - 2 sqrt(2)]

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

20. Calcular ∬ R x + y d x d y onde R é a região descrita na figura 7.17 ∬ p x q ( y ) d x d y = ∫ a b p ( x ) ⋅ ∫ c d q ( y ) d y
23. Calcular ∬ R d xd y 1 - x + y onde R é a região descrita na figura 7.19.
13. Calcular ∬ R ( x + y )d xd y onde R é a região delimitada por y = x 2 + 1; y = - 1 - x 2 ;x = - 1ex = 1 .
22. Calcular ∬ R xd xd y onde R é a região descrita na figura 7.18.
21. Calcular ∬ R 1 + x + y d x d y onde R é delimitada pelo triângulo de vértices 1,1 , 1,2e2 , - 1 .