Enunciado

Calcule a integral dupla.

∬_D^() x cos y d A , D é l i m i t a d a p o r y = 0 , y = x^2 , x = 1

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

Vamos considera a integral dupla:

∬_D^() x cos y d A = ∬_D^() x cos y d y d x

Analisando a região, sabemos que y = 0 , y = x^2 .

Assim:

0 = x^2

x = 0

O outro valor para x é x = 1 . Portanto, o limite de x varia de x = 0 para x = 1 e é claro que y varia de y = 0 para y = x^2

Passo 2

Assim, a integral dupla pode ser escrita como:

∬_D^() x cos y d A = int_0^1 int_0^(x^2) x cos y d y d x

Vamos resolver a integral de dentro:

int_0^(x^2) x cos y d y = x [sin y]_0^(x^2 )

int_0^(x^2) x cos y d y = x (sin x^2 - sin 0)

int_0^(x^2) x cos y d y = x sin x^2

Logo:

int_0^1 int_0^(x^2) x cos y d y d x = int_0^1 x sin x^2 d x

Para resolver esta integral, temos que aplicar o método de substituição. Vamos considerar x^2 = u , logo:

(d u)/(d x) = 2 x

x d x = (d u)/(2)

Vamos checar os limites:

x = 0 -> u = 0

x = 1 -> u = 1

Portanto:

int_0^1 x sin x^2 d x = int_0^1 sin u (d u)/(2)

int_0^1 sin u (d u)/(2) = (1)/(2) [- cos u]_0^1

= (1)/(2) (- cos 1 - (- cos 0))

= (1)/(2) (1 - cos 1)

Portanto:

∬_D^() x cos y d A = (1)/(2) (1 - cos 1)

Resposta

∬_D^() x cos y d A = (1)/(2) (1 - cos 1)

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