Enunciado

Calcule a integral iterada.

Passo 1

Nesse exercício, iremos analisar a seguinte integral:

int_0^1 int_0^1 int_0^(sqrt(1 - z^2)) (z)/(y + 1) d x d z d y

Começaremos o exercício calculando a integral em função de x :

int_0^1 int_0^1 [(z)/(y + 1) x]_(x = 0)^(x = sqrt(1 - x^2)) d z d y

E, simplificando a expressão, temos:

int_0^1 int_0^1 (z sqrt(1 - z^2))/(y + 1) d z d y

Passo 2

Agora podemos calcular a integral em função de z :

int_0^1 [(- (1)/(3) (1 - z^2)^(3 // 2))/(y + 1)]_(z = 0)^(z = 1) d y = (1)/(3) int_0^1 ((- (1)/(3) (1 - 1^2)^((3)/(2)))/(y + 1)) - ((- (1)/(3) (1 - 0^2)^((3)/(2)))/(y + 1)) d y

E, simplificando, obtemos:

(1)/(3) int_0^1 (1)/(y + 1) d y

Passo 3

E por fim, podemos resolver a integral em função de y :

[(1)/(3) ln ( y + 1 )]_0^1 = (1)/(3) (ln 2 - ln 1)

E, dessa forma o valor da integral é:

int_0^1 int_0^1 int_0^(sqrt(1 - z^2)) (z)/(y + 1) d x d z d y = (1)/(3) ln 2

Resposta

int_0^1 int_0^1 int_0^(sqrt(1 - z^2)) (z)/(y + 1) d x d z d y = (1)/(3) ln 2

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