Enunciado

Calcule a integral tripla.

Passo 1

Nesse exercício, iremos analisar a seguinte integral:

∭ e^(z // y) d V

Sob a região:

E = {(x , y , z),0 <= y <= 1 , y <= x <= 1 , 0 <= z <= x y}

Dessa forma, podemos reescrever a integral como:

int_0^1 int_y^1 int_0^(x y) e^(z // y) d z d x d y

Iremos calcular a integral como uma integral iterada, dessa forma, começando por z temos:

int_0^1 int_y^1 [y e^(z // y)]_(z = 0)^(z = x y) d x d y = int_0^1 int_y^1 (y e^((x y)/(y))) - (y e^((0)/(y))) d x d y

Simplificando a expressão, temos:

int_0^1 int_y^1 ( y e^x - y ) d x d y

Passo 2

Agora podemos calcular a integral em função de x :

int_0^1 [y e^x - x y]_(x = y)^(x = 1) d y = int_0^1 [(y e^1 - 1 y) - (y e^y - y^2)] d y

E, simplificando, obtemos:

int_0^1 ( e y - y - y e^y + y^2 ) d y

Passo 3

E por fim, podemos resolver a integral em função de y , mas antes, devemos lembrar de calcular a integral do termo y e^y por partes, conforme segue:

int y e^y = C + (y - 1) e^y

Dessa forma, a integral em y é dada por:

[(1)/(2) e y^2 - (1)/(2) y^2 - (y - 1) e^y + (1)/(3) y^3]_0^1 = (1)/(2) e (1)^2 - (1)/(2) (1)^2 + 0 + (1)/(3) + 0 + 0 - 1 + 0

E, dessa forma o valor da integral é:

∭ e^(z // y) d V = (1)/(2) e - (7)/(6)

Resposta

∭ e^(z // y) d V = (1)/(2) e - (7)/(6)

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Calcule a integral iterada.int_0^1 int_0^z int_0^(x + z) 6 x z d y d x d z
Calcule a integral tripla.int int int_E 2 x d V , ondeE = {(x , y , z)| 0 = y = 2 , 0 = x = sqrt(4 - y^2) , 0 = z = y }
Calcule a integral tripla. ∫ ∫ ∫ E 6 x yd V , onde E está abaixo do plano z = 1 + x + y e acima da região do plano x y limitada pelas curvas y = x , y = 0 e x = 1
Calcule a integral tripla. ∫ ∫ ∫ E yd V , onde E é limitado pelos planos x = 0,y = 0,z = 0 e 2 x + 2 y + z = 4
Calcule a integral tripla. ∫ ∫ ∫ E x 2 e yd V , onde E é delimitado pelo cilindro parabólico z = 1 - y 2 e pelos planos z = 0,x = 1 e x = - 1