Enunciado

Encontre a área da superfície.

Passo 1

Nesse exercício iremos analisar a parte do parabolóide z = 1 - x^2 - y^2 que fica acima do plano z = - 2 .

Sendo assim, temos que o parabolóide intercepta o plano z = - 2 quando:

1 - x^2 - y^2 = - 2 -> x^2 + y^2 = 3

Que é uma circunferência de raio r = sqrt(3) .

Passo 2

Com isso, temos:

z = f (x , y) = 1 - x^2 - y^2 -> f_x = - 2 x , f_y = - 2 y

Sendo assim, a área da superfície pode ser escrita como:

A (S) = ∬ sqrt((- 2 x)^2 + (- 2 y)^2 + 1) d A = ∬ sqrt(4 (x^2 + y^2) + 1) d A

Já que a superfície sob a qual estamos integrando é uma circunferência, iremos mudar o sistema de coordenadas para o sistema polar, dessa forma:

int_0^(2 pi) int_0^(sqrt(3)) sqrt(4 r^2 + 1) r d r d theta = int_0^(2 pi) d theta int_0^(sqrt(3)) r sqrt(4 r^2 + 1) d r

Passo 3

Resolvendo a integral obtida no passo anterior, ficamos com:

[theta]_0^(2 pi) [(1)/(12) (4 r^2 + 1)^((3)/(2))]_0^(sqrt(3)) = 2 pi . (1)/(12) (13^((3)/(2)) - 1)

E, simplificando, temos:

A (S) = (pi)/(6) ( 13 sqrt(13) - 1 )

Resposta

A (S) = (pi)/(6) ( 13 sqrt(13) - 1 )

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