Enunciado

Calcule a integral iterada.

Passo 1

Nesse exercício, iremos analisar a seguinte integral:

int_1^2 int_0^(2 z) int_0^(ln x) x e^(- y) d y d x d z

Começaremos o exercício calculando a integral em função de y :

int_1^2 int_0^(2 z) [- x e^(- y)]_(y = 0)^(y = ln x) d x d z = int_1^2 int_0^(2 z) (- x e^(- ln x) + x e^0) d x d z

E, simplificando a expressão, temos:

int_1^2 int_0^(2 z) (- 1 + x) d x d z

Passo 2

Agora podemos calcular a integral em função de x :

int_1^2 [- x + (1)/(2) x^2]_(x = 0)^(x = 2 z) d z = int_1^2 {[- (- 2 z) + (1)/(2) (- 2 z)^2] - [- (0) + (1)/(2) (0)^2]} d z

E, simplificando, obtemos:

int_1^2 (- 2 z + 2 z^2) d z

Passo 3

E por fim, podemos resolver a integral em função de z :

[- z^2 + (2)/(3) z^3]_1^2 = (- 4 + (16)/(3)) - ( - 1 + (2)/(3) )

E, dessa forma o valor da integral é:

int_1^2 int_0^(2 z) int_0^(ln x) x e^(- y) d y d x d z = (5)/(3)

Resposta

int_1^2 int_0^(2 z) int_0^(ln x) x e^(- y) d y d x d z = (5)/(3)

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