Enunciado

Calcule a integral tripla.

Passo 1

Nesse exercício, iremos analisar a seguinte integral:

∭ y d V

Sob a região:

E = {(x , y , z),0 <= x <= 3 , 0 <= y <= x , x - y <= z <= x + y}

Dessa forma, podemos reescrever a integral como:

int_0^3 int_0^x int_(x - y)^(x + y) y d z d y d x

Iremos calcular a integral como uma integral iterada, dessa forma, começando por z temos:

int_0^3 int_0^x [y z]_(z = x - y)^(z = x + y) d y d x = int_0^3 int_0^x [y (x + y)] - [ y (x - y) ] d y d x

Simplificando a expressão, temos:

int_0^3 int_0^x 2 y^2 d y d x

Passo 2

Agora podemos calcular a integral em função de y :

int_0^3 [(2)/(3) y^3]_(y = 0)^(y = x) d x

E, simplificando, obtemos:

int_0^3 (2)/(3) x^3 d x

Passo 3

E por fim, podemos resolver a integral em função de x :

[(1)/(6) x^4]_0^3 = (81)/(6)

E, dessa forma o valor da integral é:

∭ y d V = (27)/(2)

Resposta

∭ y d V = (27)/(2)

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