Enunciado

Calcule a integral iterada.

int_0^2 int_0^1 (2 x + y)^8 d x d y

Passo 1

Galera, quando a gente tem uma integral dupla, a gente sempre começa resolvendo de dentro pra fora, assim:

int_0^2 int_0^1 (2 x + y)^8 d x d y = int_0^2 (int_0^1 (2 x + y)^8 d x) d y

Lembre-se de que, quando estamos integrando em relação a x , podemos tratar y como uma constante. Então, usando integração por substituição, chegamos a:

int_0^2 (int_0^1 (2 x + y)^8 d x) d y = int_0^2 ([(1)/(2) ((2 x + y)^9)/(9)]_0^1) d y = int_0^2 (((2 . 1 + y)^9)/(18) - ((2 . 0 + y)^9)/(18)) d y = int_0^2 ((2 + y)^9 - y^9)/(18) d y

Passo 2

Agora, é só resolver a integral simples que restou:

int_0^2 ((2 + y)^9 - y^9)/(18) d y = (1)/(18) [((2 + y)^(10))/(10) - (y^(10))/(10)]_0^2 = (1)/(180) ((2 + 2)^(10) - 2^(10) - (2 + 0)^(10) + 0^(10)) = (1)/(180) (4^(10) - 2^(10) - 2^(10)) = (1046528)/(180) = (261632)/(45)

Beleza?

Resposta

(261632)/(45)

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