Enunciado

Desenhe o sólido que está entre a superfície z = 2 x y x 2 + 1 e o plano z = x + 2 y e é limitado pelos planos x = 0   ,     x = 2   ,     y = 0 e y = 4 . A seguir, determine seu volume.

Passo 1

Pessoal, pra ter uma ideia do desenho do sólido, vamos desenhar as as duas superfícies que o limitam em z :

Em verde, o plano z = x + 2 y ; em vermelho, a superfície z = 2 x y x 2 + 1 .

Passo 2

Pra determinar o volume desse sólido, primeiro precisamos escrever uma integral dupla que o descreva. Pra achar os limites de integração, olhamos para os planos que delimilitam o sólido:

V = ∫ 0 4 ∫ 0 2 z x ,   y d x   d y

Obtemos z ( x ,   y ) a partir da equação das superfícies desenhadas no passo anterior. Pelo desenho, temos que o plano delimilita por cima, então:

x + 2 y ≥ 2 x y x 2 + 1 ⇒ z x ,   y = x + 2 y - 2 x y x 2 + 1

Então, escrevemos a integral assim:

V = ∫ 0 4 ∫ 0 2 x + 2 y - 2 x y x 2 + 1   d x   d y

Passo 3

Quando a gente tem uma integral dupla, a gente sempre começa resolvendo de dentro pra fora, assim:

∫ 0 4 ∫ 0 2 x + 2 y - 2 x y x 2 + 1   d x   d y = ∫ 0 4 ∫ 0 2 x + 2 y - 2 x y x 2 + 1     d x d y = ∫ 0 4 x 2 2 + 2 y x - y ln ⁡ ( x 2 + 1 ) 0 2 d y = ∫ 0 4 2 + 4 y - y ln ⁡ 5 - 0 - 0 + y ln ⁡ 1   d y = ∫ 0 4 2 + 4 y - y ln ⁡ 5   d y

Passo 4

Agora, é só resolver a integral simples que restou:

∫ 0 4 2 + 4 y - y ln ⁡ 5   d y = 2 y + 2 y 2 - y 2 2 ln ⁡ 5 0 4 = 8 + 32 - 8 ln ⁡ 5 = 40 - 8 ln ⁡ 5

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Resposta

40 - 8 ln ⁡ 5

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