Enunciado

Calcule a integral de linha por dois métodos: a) diretamente e b) utilizando o Teorema de Green.

∮ C y d x - x d y

C é o círculo com centro na origem e raio 1.

Passo 1

Precisamos resolver esta integral por dois métodos diferentes e assim chegar ao mesmo valor, comprovando a eficácia do Teorema de Green.

Para resolvermos diretamente, precisamos primeiro parametrizar a curva para em sim podermos resolver a integral como já havíamos feito anteriormente.

Já para resolvermos através do Teorema de Green, basta lembrarmos que o Teorema nos diz que:

∫ C P d x + Q d y = ∬ D ∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y d A

Vamos as contas então!

Passo 2

Nosso primeiro passo é obter o termo integrando. Como Q x , y = - x e P x , y = y , então,

∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y = - 1 - 1 = - 2

Portanto,

∫ C P d x + Q d y = ∬ D ∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y d A = ∬ D - 2 d A

Portanto, agora só nos falta escrevermos a região D. Como ela é uma região de raio 1 e centro na origem, vamos escrevê-la através de coordenadas polares. Logo,

∬ D - 2 d A = ∫ 0 2 π ∫ 0 1 - 2 r d r d θ

∫ 0 2 π - r 2 0 1 d θ = ∫ 0 2 π - d θ

- θ 0 2 π = - 2 π

Resposta

∮ C y d x - x d y = - 2 π

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