Enunciado

Calcule a integral de linha por dois métodos: a) diretamente e b) utilizando o Teorema de Green.

∮ C y d x - x d y

C é o círculo com centro na origem e raio 1.

Passo 1

Olá, tudo bem? Vamos ver o que a questão quer.

Na letra a), ele queria que a gente calculasse a integral de linha

∮ C y d x - x d y

Usando a definição, onde C é a linha de um círculo com centro na origem e raio 1. Ou seja, C   é

x 2 + y 2 = 1

Agora nessa letra b), teremos que utilizar o Teorema de Green

∫ C P d x + Q d y = ∬ D ∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y d A

Que diz que podemos transformar uma integral de linha em uma integral dupla utilizando a relação acima.

Onde, na integral de linha P é tudo que está ao lado de d x , Q é tudo que está ao lado de d y e C é o contorno da curva. Nesse caso a circunferência!

E na integral dupla que vamos fazer, D é o interior da curva que precisa estar orientada positivamente que nessa questão é o círculo!

∂ Q ∂ x

É a derivada parcial de Q em relação à x ,

∂ P ∂ y

É a derivada parcial de P em relação à y e

d A = d x d y

E por que faríamos isso?

Bem, essa integral de linha não é muito complicada de resolver, mas existem outras que são quase impossíveis de resolver pela definição. Nesses casos, o teorema facilita muito nossa vida.

Portanto, como essa resolução é da letra b) Vamos usar o Teorema de Green!

Primeiro, identificaremos P e Q e calcularemos suas derivas parciais, depois montaremos a integral com elas, analisaremos a região D e calcularemos a integral.

Partiu?

Passo 2

Nosso primeiro passo é obter P e Q . A integral de linha é:

∮ C y d x - x d y

Sendo P tudo que acompanha d x e Q tudo que acompanha d y , temos

P x , y = y

e

Q x , y = - x

Calculando P em relação à y :

∂ P ∂ y = ∂ y ∂ y

∂ y ∂ y = 1

Calculando Q em relação à x :

∂ Q ∂ x =   ∂ - x ∂ x

  ∂ - x ∂ x = - 1

Portanto,

∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y = - 1 - 1 = - 2

Passo 3

Agora montaremos a integral. Temos

∫ C P d x + Q d y = ∬ D ∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y d A

Substituindo o que achamos no passo anterior:

∬ D ∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y d A = ∬ D - 2 d A

E lembrando que

d A = d x d y

∬ D - 2 d A = ∬ D - 2 d y d x

Como temos

∬ D - 2 d y d x

Isso é a mesma coisa que a área de D multiplicado por - 2 !

Lembra que a área também pode ser calculada desse jeito?

A = ∬ D d y d x

E temos

- 2 ∬ D d y d x

Que é a mesma coisa que

- 2 A

Portanto, como a nossa região D é um círculo completo com raio r = 1 .

∬ D - 2 d y d x = - 2 π r 2

- 2 π r 2 =   - 2 π

Prontinho!

Resposta

∮ C y d x - x d y = - 2 π

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