Enunciado

Calcule a integral de linha por dois métodos: (a) diretamente e (b) utilizando o Teorema de Green.

∮ C x   d x + y   d y

C consiste nos segmentos de reta de ( 0,1 ) a ( 0,0 ) e de ( 0,0 ) a ( 1,0 ) e na parábola y = 1 - x 2 de 1,0 a 0,1

Passo 1

  1. Vamos escrever C como união de três partes, C = C 1 ∪ C 2 ∪ C 3 , onde as duas primeiras são as retas e a terceira é a parábola.
  2. ∮ C F ⋅ d r = ∫ C 1 F ⋅ d r 1 + ∫ C 2 F ⋅ d r 2 + ∫ C 3 F ⋅ d r 3

    Onde F = ( x , y )

    Para que a orientação seja positiva, precisamos da reta de ( 0 , 1 ) a ( 0 , 0 )

    C 1 : r 1 t = 0 , 1 - t ,   0 ≤ t ≤ 1

    r 1 ' t = 0 , - 1

    E a integral é

    ∫ C 1 F ⋅ d r 1 = ∫ 0 1 0,1 - t ⋅ 0 , - 1   d t

    = ∫ 0 1 t - 1   d t = t 2 2 - t 0 1 = 1 2 - 1

    = - 1 2

    Outra reta sai de ( 0 , 0 ) e vai até ( 1 , 0 ) que tem parametrização

    C 2 : r 2 t = t , 0 ,   0 ≤ t ≤ 1

    r 2 ' t = 1 , 0

    E a integral é

    ∫ C 2 F ⋅ d r 2 = ∫ 0 1 t , 0 ⋅ 1 , 0   d t

    = ∫ 0 1 t   d t = t 2 2 0 1 = 1 2

    Por fim temos a parábola y = 1 - x 2 que vai de ( 1 , 0 ) até ( 0,1 ) , fechando a curva C

    C 3 : r 3 t = t , 1 - t 2 ,   com   t   variando   de   1   até   0

    r 3 ' t = 1 , - 2 t

    ∫ C 3 F ⋅ d r 3 = ∫ 1 0 t , 1 - t 2 ⋅ 1 , - 2 t   d t

    = ∫ 1 0 t - 2 t + + 2 t 3   d t = ∫ 1 0 2 t 3 - t d t

    = t 4 2 - t 2 2 1 0 = - 1 2 + 1 2

    = 0

    Então temos que

    ∮ C F ⋅ d r = ∫ C 1 F ⋅ d r 1 + ∫ C 2 F ⋅ d r 2 + ∫ C 3 F ⋅ d r 3

    = - 1 2 + 1 2 + 0 = 0

    Passo 2

  3. Pelo Teorema de Green temos que

∮ C x   d x + y   d y = ∬ D ∂ ∂ x y - ∂ ∂ y x d A

= ∬ D 0   d A = 0

Resposta

0

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