Calcule

∫ γ 2 x y + y 2 d s  

Onde gamma(t) = (t + 1, t - 1) , 0 <= t <= 1

Passo 1

Nosso capítulo se refere a Integral de linha relativa ao comprimeiro de arco. Onde tendo nossa função f X contínua, definida na imagem de γ , então temos que

∫ γ f X d s = ∫ a b f γ t | γ ' t |   d t

Passo 2

Desta forma vamos agora partir para nosso problema.

Dada a parametrização que o exercício nos fornece, temos que

f γ t = 2 t + 1 t - 1 + t - 1 2 = 2 t 2 - 1 + t 2 - 2 t + 1  

= 3 t 2 - 2 t - 1

E

γ ' t = 1 + 1 = 2

Assim nossa integral pode ser reescrita como

2 ∫ 0 1 3 t 2 - 2 t - 1 d t =   2 t 3 - t 2 - t 0 1 = 2 - 1 = - 2

Que nos dá o resultamos que estávamos procurando

Resposta

- 2

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