Calcule a integral de linha, onde é a curva dada.
é o segmento de reta que liga a .
Passo 1
O problema pede para calcularmos a integral de linha sobre a curva dada:
Beleza, então para resolvermos essa integral precisamos encontrar quem é:
E também entendermos melhor quem é a curva C que o exercício nos informa que é o segmento de reta que liga a .
Isso quer dizer que é uma reta que sai dos pontos ( e termina nos pontos . Podemos escrever isso da seguinte forma:
Para facilitar os cálculos, temos que fazer uma parametrização dessa curva e achar seus intervalos.
Sabendo bem essas informações podemos resolver a integral, show?
Então, vamos lá!
Passo 2
Nesse caso, a curva é o segmento de reta que liga a .
Bom, mas que reta é essa se ele só nos deu pontos???
Para achar uma reta precisamos de dois pontos quaisquer dela, então ok, isso nós temos. Agora só precisamos substituir na equação da reta , que é :
Onde:
- pontos da origem
- pontos finais
Beleza, vamos substituir tudo na fórmula:
Passo 3
Ok, já temos a reta, agora precisamos da parametrização. Uma forma comum de parametrizar é:
Agora substituímos esse valor na equação da reta:
Beleza, agora como definimos que :
Os intervalos de serão o mesmo de , dessa forma:
Logo :
Passo 4
Bom, já entendemos bem como a curva se comporta. Agora vamos achar o :
Vamos resolver as derivadas parciais. Começando por
Agora
Substituindo na fórmula de :
Passo 5
Desta forma, a vamos começar a preencher nossa integral:
Refrescando a mente :
Agora é só substituir na integral, vai ficar assim:
Para ficar mais fácil, vamos separar em duas integrais ;
A primeira integral é simples:
Resolvendo essa integral, temos:
Já a segunda temos que fazer por partes:
Agora vamos somar os resultados das integrais que separamos, vai ficar assim:
Colocando em evidência :
Portanto,