Enunciado

Calcule a integral de linha, onde C é a curva dada.

∫ C y e x   d s

C é o segmento de reta que liga ( 1 ,   2 ) a ( 4 ,   7 ) .

Passo 1

O problema pede para calcularmos a integral de linha sobre a curva dada:

I = ∫ C y e x   d s

Para isso, lembre-se que

d s = d x d t 2 + d y d t 2   d t

Nesse caso, a curva é o segmento de reta que liga ( 1 ,   2 ) a ( 4 ,   7 ) . A equação dessa reta é

y - 2 = 5 3 x - 1 = 5 3 x - 5 3 ⇒ y = 5 3 x + 1 3

x = t             e           y = 5 t + 1 3

Logo,

d x d t = 1           e           d y d t = 5 3

Assim,

d s = 1 + 25 9   d t = 1 3 34   d t

Passo 2

Desta forma, a integral de linha pode ser escrita como

I = 34 3 ∫ 1 4 5 t + 1 3   e t   d t = 34 9 ∫ 1 4 5 t + 1 e t   d t

Assim,

I = 34 9 ∫ 1 4 e t   d t + 5 34 9 ∫ 1 4 t   e t   d t

A primeira integral é simples:

∫ 1 4 e t   d t = e t 1 4 = e 4 - e

Já a segunda temos que fazer por partes:

∫ 1 4 t   e t   d t = t e t 1 4 - ∫ 1 4 e t   d t = 4 e 4 - e - e 4 - e = 3 e 4

Logo,

I = 34 9 e 4 - e + 15 e 4

Portanto,

I = 34 9 ( 16 e 4 - 1 )

Resposta

I = 34 9 ( 16 e 4 - 1 )

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