Enunciado

Determine o valor exato de ∫ C x 3 y 5   d s , onde C é a parte da astróide x = cos 3 ⁡ t , y = s e n 3 t no primeiro quadrante.

Passo 1

O problema pede para calcularmos a integral de linha

I = ∫ C x 3 y 5   d s

Nesse caso, a curva C é dada por

x = cos 3 ⁡ t ,     y = s e n 3 t ,     0 ≤ t ≤ π 2

Assim,

d x d t = - 3 cos 2 ⁡ t   s e n   t                 e                 d y d t = 3   s e n 2 t cos ⁡ t

Logo,

d x d t 2 + d y d t 2 = 9 cos 4 ⁡ t   s e n 2 t + 9   s e n 4 t cos 2 ⁡ t = 9 cos 2 ⁡ t   s e n 2 t   ( cos 2 ⁡ t + s e n 2 t )

Portanto,

d x d t 2 + d y d t 2 = 9 cos 2 ⁡ t   s e n 2 t = 3 cos ⁡ t   s e n   t

Assim,

I = ∫ 0 π 2 cos 9 ⁡ t   s e n 15 t ⋅ 3 cos ⁡ t   s e n   t   d t

Passo 2

Devemos calcular a integral de linha:

I = 3 ∫ 0 π 2 cos 10 ⁡ t   s e n 16 t   d t

Essa é uma integral bem chatinha de fazer, por isso vou usar um software para resolver. Para você ter uma ideia de como a primitiva é feia:

Usando a calculador gráfica:

I = 945 π 16777216

Resposta

I = 945 π 16777216

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