Enunciado

Calcule o valor da integral de linha, onde C é a curva dada.

Passo 1

Nesse exercício iremos analisar:

∫ x + 2 y d x + x 2 d y

Em que C é segmento de linha de ( 0,0 ) até ( 2,1 ) e de ( 2,1 ) até ( 3,0 ) .

Passo 2

Nesse exercício, devemos dividir a integral em duas curvas, C 1 e C 2 , pois temos dois segmentos de reta, sendo assim, é conveniente escolher x como parâmetro, com isso, as equações paramétricas para C são:

C 1 → x = x ,   y = 1 2 x ,     0 ≤ x ≤ 2

C 2 → x = x ,   y = 3 - x ,     2 ≤ x ≤ 3

Sabemos que essa integral de linha pode ser calculada através da equação 7 apresentada nessa seção do livro, sendo assim, substituindo os valores na fórmula, temos:

∫ x + 2 y d x + x 2 d y = ∫ 0 2 x + 2 y d x + x 2 d y + ∫ 2 3 x + 2 y d x + x 2 d y

Substituindo os valores de y e d y para as duas curvas, temos:

∫ 0 2 x + 2 1 2 x d x + x 2 1 2 d x + ∫ 2 3 x + 2 3 - x d x + x 2 ( - d x )

∫ 0 2 2 x + 1 2 x 2 d x + ∫ 2 3 6 - x - x 2 d x

Passo 3

Agora, resolvendo a integral para x , temos:

x 2 + 1 6 x 3 0 2 + 6 x - 1 2 x 2 - 1 3 x 3 2 3

2 2 + 1 6 2 3 - 0 + 6 3 - 1 2 3 2 - 1 3 3 3 - 6 2 - 1 2 2 2 - 1 3 2 3

= 16 3 + 9 2 - 22 3

Dessa forma, o valor da integral é:

∫ x + 2 y d x + x 2 d y = 5 2

Resposta

∫ x + 2 y d x + x 2 d y = 5 2

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