Enunciado

Calcule a integral de linha, onde C é a curva dada.

∫ C x 2 z   d s

C é o segmento de reta de ( 0 ,   6 ,   - 1 ) a ( 4 ,   1 ,   5 ) .

Passo 1

O problema pede para calcularmos a integral de linha sobre a curva dada:

I = ∫ C x 2 z   d s

Nesse caso a curva é uma reta em três dimensões, que liga o ponto ( 0 ,   6 ,   - 1 ) ao ( 4 ,   1 ,   5 ) . Vamos achar a equação dessa reta. O vetor diretor será

u → = 4 ,   1 ,   5 - 0 ,   6 ,   - 1 = ( 4 ,   - 5 ,   6 )

Assim, a equação será

r → t = 0 ,   6 ,   - 1 + t 4 ,   - 5 ,   6 = ( 4 t ,   6 - 5 t ,   - 1 + 6 t )

Em t = 0 estamos em ( 0 ,   6 ,   - 1 ) e em t = 1 estamos em ( 4 ,   1 ,   5 ) .

Portanto,

x = 4 t ,             y = 6 - 5 t ,             z = - 1 + 6 t

Logo,

d x d t = 4 ,             d y d t = - 5               e           d z d t = 6

Desta forma,

d x d t 2 + d y d t 2 + d z d t 2 = 16 + 25 + 36 = 77

Passo 2

Assim, a integral de linha pode ser escrita como

I = ∫ 0 1 4 t 2 ⋅ - 1 + 6 t   77   d t = 16 77 ∫ 0 1 - t 2 + 6 t 3   d t

Portanto,

I = 16 77   - t 3 3 + 6 t 4 4 0 1 = 16 77 - 1 3 + 3 2 = 16 77 ⋅ 7 6

Logo,

I = 56 77 3

Resposta

I = 56 77 3

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