Enunciado

Calcule a integral de linha, onde C é a curva dada.

∫ C ( x y + ln ⁡ x )   d s

C é o arco de parábola y = x 2 de ( 1 ,   1 ) a ( 3 ,   9 ) .

Passo 1

O problema pede para calcularmos a integral de linha sobre a curva dada:

I = ∫ C ( x y + ln ⁡ x )   d s

Para isso, lembre-se que

d s = d x d t 2 + d y d t 2   d t

Nesse caso, a curva é a parábola que liga ( 1 ,   1 ) a ( 3 ,   9 ) . Vamos usar a seguinte parametrização:

x = t                 e             y = t 2

Logo,

d x d t = 1           e           d y d t = 2 t

Assim,

d s = 1 + 4 t 2   d t

Passo 2

Desta forma, a integral de linha pode ser escrita como

I = ∫ 1 3 t ⋅ t 2 + ln ⁡ t   1 + 4 t 2   d t = ∫ 1 3 t 3 + ln ⁡ t   1 + 4 t 2   d t

Essa é uma integral que não pode ser escrita em termos de funções elementares. Por isso, usei uma calculadora gráfica para computar a integral numericamente:

I = 104,9

Resposta

I = 104,9

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19-22. Calcule a integral de linha ∫ C F ∙ d r , onde C é dada pela função vetorial r ( t ) .19. F x ,y = x y 2 i - x 2 j ,r t = t 3 i + t 2 j ,0 ≤ t ≤ 1