Enunciado

Utilize a simetria para calcular a integral dupla.

∬ R 1 + x 2 sen ⁡ y + y 2 sen ⁡ x d A

R = - π , π × - π , π

Passo 1

Precisamos utilizar as relações as relações de simetria de funções, isto é, paridade de funções.

Começaremos com uma função par. Uma função é par quando f x = f - x . Desta forma, uma função par integrada em intervalo simétrico é igual a duas vezes o valor da integral de 0 até o limite do intervalo, isto é,

∫ - a a f x d x = 2 ⋅ ∫ 0 a f x d x

Já uma função ímpar é aquela em que f x = - f ( - x ) . Quando integramos uma função ímpar em um intervalo simétrico, o resultado final é 0, isto é,

∫ - a a f x d x = 0

Passo 2

Vamos começar colocando os limites de integração. Portanto,

∫ - π π ∫ - π π 1 + x 2 sen ⁡ y + y 2 sen ⁡ x d x d y

Como sen ⁡ x é uma função ímpar, a sua integral é 0. Como as outras funções são pares, então, temos:

∫ - π π 2 ⋅ x + x 3 3 sen ⁡ y 0 π d y = ∫ - π π 2 π + π 3 3 sen ⁡ y d y

Passo 3

Agora, só nos basta resolver a integral em relação a y . Novamente, como a função sen ⁡ y é uma função ímpar e π é par, temos:

∫ - π π 2 π + π 3 3 sen ⁡ y d y = 2 ⋅ 2 ⋅ π y 0 π

∫ - π π 2 π + π 3 3 sen ⁡ y d y = 4 π 2

Resposta

∫ - π π ∫ - π π 1 + x 2 sen ⁡ y + y 2 sen ⁡ x d x d y = 4 π 2

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2) Esboçar a região de integração e calcular as integrais iteradas seguintes:c) ∫ 1 e ∫ ln ⁡ x 1 x d yd x
4. Calcular ∬ R ( x + 4 ) d x d y , onde R é o retângulo 0 ≤ x ≤ 2 , 0 ≤ y ≤ 6 . Interpretar geometricamente.
Seja A o retângulo 1 ≤ x ≤ 2 , 0 ≤ y ≤ 1 . Calcule ∬ A f x , y d x d y , sendo f x , y igual a :e) 1
Seja A o retângulo 1 ≤ x ≤ 2 , 0 ≤ y ≤ 1 . Calcule ∬ A f x , y d x d y , sendo f x , y igual a :d) 1 x + y
Seja A o retângulo 1 ≤ x ≤ 2 , 0 ≤ y ≤ 1 . Calcule ∬ A f x , y d x d y , sendo f x , y igual a :f) x cos ⁡ x y