Enunciado

Utilize a simetria para calcular a integral dupla.

∬ R x y 1 + x 4 d A

R = x , y - 1 ≤ x ≤ 1,0 ≤ y ≤ 1 }

Passo 1

Precisamos utilizar as relações as relações de simetria de funções, isto é, paridade de funções.

Começaremos com uma função par. Uma função é par quando f x = f - x . Desta forma, uma função par integrada em intervalo simétrico é igual a duas vezes o valor da integral de 0 até o limite do intervalo, isto é,

∫ - a a f x d x = 2 ⋅ ∫ 0 a f x d x

Já uma função ímpar é aquela em que f x = - f ( - x ) . Quando integramos uma função ímpar em um intervalo simétrico, o resultado final é 0, isto é,

∫ - a a f x d x = 0

Passo 2

Vamos começar colocando os limites de integração. Portanto,

∫ 0 1 ∫ - 1 1 x y 1 + x 4 d x d y

Como x / ( 1 + x 4 ) é uma função ímpar, a sua integral é 0. Portanto, automaticamente, temos:

∫ 0 1 ∫ - 1 1 x y 1 + x 4 d x d y = ∫ 0 1 0 d y = 0

Pela aplicação das propriedades, conseguimos resolver em uma única linha! Que excelente né!

Resposta

∫ 0 1 ∫ - 1 1 x y 1 + x 4 d x d y = 0

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Seja A o retângulo 1 ≤ x ≤ 2 , 0 ≤ y ≤ 1 . Calcule ∬ A f x , y d x d y , sendo f x , y igual a :g) y cos ⁡ x y
Seja A o retângulo 1 ≤ x ≤ 2 , 0 ≤ y ≤ 1 . Calcule ∬ A f x , y d x d y , sendo f x , y igual a :c) x + y
Seja A o retângulo 1 ≤ x ≤ 2 , 0 ≤ y ≤ 1 . Calcule ∬ A f x , y d x d y , sendo f x , y igual a : ye x y
Seja A o retângulo 1 ≤ x ≤ 2 , 0 ≤ y ≤ 1 . Calcule ∬ A f x , y d x d y , sendo f x , y igual a :h) 1 x + y 2
Seja A o retângulo 1 ≤ x ≤ 2 , 0 ≤ y ≤ 1 . Calcule ∬ A f x , y d x d y , sendo f x , y igual a : b )x - y