Calcule a integral de linha ∫ C F → ⋅ d r → , onde C é dada pela função vetorial r(t)

F(x, y, z) = x \* i + y \* j - x \* y \* k ,

r(t) = cos(t) \* i + sen(t) \* j + t \* k, 0 <= t <= pi

Passo 1

Para resolver o problema vamos aplicar a definição de integral de linha para campos vetoriais usando a curva que nos foi dado. Precisamos então substituir a curva na integral para encontrarmos os valores.

Passo 2

Temos que a definição da integral de linha é dada por

∫ C F → ⋅ d r → = ∫ a b F → r → t ⋅ r → ' t ⋅ d t

Calculando a derivada de r → ( t ) , chegamos que

d r → d t = - sin ⁡ t ⋅ i → + cos ⁡ t ⋅ j → + k →

Substituindo na integral, ficamos com os valores de

∫ 0 π cos ⁡ t ⋅ i → + sin ⁡ t ⋅ j → - cos ⁡ t ⋅ sin ⁡ t ⋅ k → ⋅ - sin ⁡ t ⋅ i → + cos ⁡ t ⋅ j → + k → ⋅ d t =

= ∫ 0 π - cos ⁡ t ⋅ sin ⁡ t + sin ⁡ t ⋅ cos ⁡ t - cos ⁡ t ⋅ sin ⁡ t ⋅ d t = ∫ 0 π - cos ⁡ t ⋅ sin ⁡ t ⋅ d t =

= - 1 2 ⋅ sin 2 ⁡ t 0 π = 0

Resposta

∫ C F → ⋅ d r → = 0

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