Enunciado

(a) Calcule a integral de linha ∫ C F   .   d r , onde

F x ,   y ,   z = x   i - z   j + y   k       e       C   é   d a d a   p o r       r t = 2 t   i + 3 t   j - t 2   k   ,         - 1 ≤ t ≤ 1

(b) Ilustre a parte (a) utilizando um computador para desenhar C e os vetores do campo vetorial correspondentes a t = ± 1 e ± 1 2 (como na Figura 13 ).

Passo 1

(a) Galera, temos que escrever a integral de linha assim:

∫ C F   .   d r = ∫ - 1 1 F r t   .   r ' t   d t

Mas,

F r t = 2 t   i + t 2   j + 3 t   k

r ' t = 2   i + 3   j - 2 t   k

Então,

∫ - 1 1 F r t   .   r ' t   d t = ∫ - 1 1 2 t ,   t 2 ,   3 t   .   2 ,   3 ,   - 2 t   d t = ∫ - 1 1 4 t + 3 t 2 - 6 t 2 d t = ∫ - 1 1 4 t - 3 t 2 d t

Passo 2

Agora é só resolver a integral obtida:

∫ - 1 1 4 t - 3 t 2 d t = 2 t 2 - t 3 - 1 1 = 2 - 1 - 2 + - 1 = - 2

Passo 3

(b) Show! Agora vamos desenhar C e alguns vetores do campo vetorial:

Resposta

(a) - 2

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Se C é uma curva suave dada por uma função vetorial r → ( t ) , a ≤ t ≤ b , e v → é um vetor constante, mostre que ∫ C v → ⋅ d r → = v → ⋅ r → b - r → a
Calcule o valor da integral de linha, onde C é a curva dada.
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