Enunciado

(a) Calcule a integral de linha ∫ C F   .   d r , onde

F x ,   y = e x - 1   i + x y   j       e       C   é   d a d a   p o r       r t = t 2   i + t 3   j   ,           0 ≤ t ≤ 1

(b) Ilustre a parte (a) utilizando uma calculadora gráfica ou um computador para desenhar C e os vetores do campo vetorial correspondentes a t = 0 ,     1 2 e 1 (como na Figura 13 ).

Passo 1

(a) Galera, temos que escrever a integral de linha assim:

∫ C F   .   d r = ∫ 0 1 F r t   .   r ' t   d t

Mas,

F r t = e t 2 - 1   i + t 5   j

r ' t = 2 t   i + 3 t 2   j

Então,

∫ 0 1 F r t   .   r ' t   d t = ∫ 0 1 e t 2 - 1 ,   t 5   .   2 t ,   3 t 2   d t = ∫ 0 1 2 t e t 2 - 1 + 3 t 7   d t

Passo 2

Agora é só resolver a integral obtida:

∫ 0 1 2 t e t 2 - 1 + 3 t 7   d t = e t 2 - 1 + 3 t 8 8 0 1 = 1 + 3 8 - e - 1 - 0 = 11 8 - 1 e

Passo 3

(b) Show! Agora vamos desenhar C e os vetores do campo vetorial correspondentes a t = 0 ,     1 2 e 1 , beleza?

Resposta

(a) 11 8 - 1 e

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

A figura abaixo mostra o campo vetorial F → x , y = 2 x y , x 2 e três curvas que começam em ( 1,2 ) e terminam em ( 3,2 ) . Explique por que ∫ C F → ⋅ d r → tem o mesmo valor para as três curvas.Qual
A posição de um objeto com massa m no instante t é r → t = a t 2 i ^ + b t 3 j ^ , 0 ≤ t ≤ 1 .(a) Qual é a força que age sobre o objeto no instante t ?(b) Qual é o trabalho realizado pela força durant
Determine o trabalho realizado pelo campo de força F → x , y = x 2 i ^ + y e x j ^ em uma partícula que se move sobre a parábola x = y 2 + 1 de ( 1,0 ) a ( 2,1 ) .
Calcule o valor da integral de linha, onde C é a curva dada.