Enunciado

Calcule o valor da integral de linha, onde C é a curva dada.

Passo 1

Nesse exercício iremos analisar:

∫ ( y + z )   d x + ( x + z ) d y + ( x + y ) d z

C é o segmento de linha de ( 0 , 0,0 ) até ( 1,0 , 1 ) e de ( 1,0 , 1 ) até ( 0,1 , 2 ) .

Passo 2

Nesse exercício devemos primeiro parametrizar os segmentos de linha dados no enunciado, sendo assim, temos:

C 1 → x = t ,   y = 0 ,   z = t ,     0 ≤ t ≤ 1

C 2 → x = 1 - t ,   y = t ,   z = 1 + t ,     0 ≤ t ≤ 1

Agora, podemos aplicar a fórmula 7 vista nessa seção, só precisamos calcular o valor das derivadas em relação a t , sendo assim:

C 1 → d x d t = 1 ,   d y d t = 0 ,   d z d t = 1

C 2 → d x d t = - 1 ,   d y d t = 1 ,   d z d t = 1

Agora, substituindo o valor das expressões na fórmula 7, temos:

∫ y + z d x + x + z d y + x + y d z

∫ 0 1 0 + t d t + t + t . 0 + t + 0 d t + ∫ 0 1 t + 1 + t - d t + 1 - t + 1 + t d t + 1 - t + t d t

Reagrupando os termos e colocando d t em evidência nas duas integrais, temos:

∫ 0 1 2 t d t + ∫ 0 1 - 2 t + 2 d t

Como as integrais possuem o mesmo intervalo, podemos junta-las em uma só integral:

∫ 0 1 2 t - 2 t + 2 d t = ∫ 0 1 2   d t

Passo 3

Agora, resolvendo a integral para t , temos:

2 t 0 1 = 2 ( 1 ) - 0 = 2

Dessa forma, o valor da integral é:

∫ ( y + z )   d x + ( x + z ) d y + ( x + y ) d z = 2

Resposta

∫ ( y + z )   d x + ( x + z ) d y + ( x + y ) d z = 2

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