Enunciado

Um arame fino é entortado no formato da semicircunferência x 2 + y 2 = 4   ,     x ≥ 0   . Se a densidade linear for uma constante k , determine a massa e o centro de massa do arame.

Passo 1

Pessoal, vamos usar uma integral de linha pra calcular a massa:

m = ∫ C k   d s

Vamos usar a seguinte parametrização pra C :

x = 2 cos ⁡ t   ,       y = 2   s e n   t   ,         - π 2 ≤ t ≤ π 2

d s = d x d t 2 + d y d t 2   d t = - 2   s e n   t 2 + 2 cos ⁡ t 2   d t = 2   d t

Então a integral vai ficar assim:

m = ∫ - π / 2 π / 2 2 k d t = 2 k t - π / 2 π / 2 = 2 k π 2 - - π 2 = 2 k π

Passo 2

Show! Agora vamos calcular as coordenadas do centro de massa:

x C M = 1 m ∫ C x k   d s = 1 2 k π ∫ - π 2 π 2 2 k 2 cos ⁡ t   d t = 2 π s e n   t - π 2 π 2 = 2 π 1 - - 1 = 4 π

y C M = 1 m ∫ C y k   d s = 1 2 k π ∫ - π 2 π 2 2 k 2   s e n   t   d t = 2 π - cos ⁡ t - π 2 π 2 = 2 π 0 + 0 = 0

Resposta

m = 2 k π

4 π ,   0

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Calcule a integral de linha, onde C é a curva dada. ∫ C x 2 zd s C é o segmento de reta de ( 0 ,6 ,- 1 ) a ( 4 ,1 ,5 ) .
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Calcule a integral de linha, onde C é a curva dada. ∫ C ( x y + ln ⁡ x )d s C é o arco de parábola y = x 2 de ( 1 ,1 ) a ( 3 ,9 ) .
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Calcule a integral de linha, onde C é a curva dada. ∫ C x e yd s C é o arco de curva x = e y de ( 1 ,0 ) a ( e ,1 ) .