Enunciado

Calcule a integral

int_0^9 (2 log_10 (x + 1))/(x + 1) d x

Passo 1

Questões como esta, que pede apenas para resolvermos uma integral, começam a se tornar complexas. Vamos colocar todos os conhecimentos aprendidos em prática. Podemos calcular integrais definidas, indefinidas, utilizar regra da substituição, etc. Desta forma, é importante termos um domínio dos assuntos prévios. Sempre que necessário, revisaremos quaisquer conceitos!

Passo 2

Vamos começar por analisar a integral que devemos resolver. Vejamos ela abaixo.

int_0^9 (2 log_10 (x + 1))/(x + 1) d x

Esta é uma integral definida. Vamos resolver inicialmente a integral indefinida associada a ela. Isto é,

int (2 log_10 (x + 1))/(x + 1) d x

Façamos inicialmente uma mudança de variável. Seja u = log_10 (x + 1) , consequentemente, temos d u = (d x)/((x + 1) ln 10) . Portanto, temos:

int (2 log_10 (x + 1))/(x + 1) d x = int 2 ln 10 u d u = 2 ln 10 * int u d u

E agora chegamos a uma função facilmente integrável!

Passo 3

Vamos obter a primitiva da nossa integral. Desta forma, temos:

2 ln 10 * int u d u = 2 ln 10 * (u^2)/(2) + k

Voltando para a variável inicial, temos:

ln 10 * u^2 + k = ln 10 * (log_10 (x + 1))^2 + k

OBS: Cuidado para não esquecerem da constante k , pois estamos resolvendo uma integral indefinida!

Passo 4

Vamos agora resolver a integral definida através do teorema fundamental do cálculo. Portanto, temos:

int_0^9 (2 log_10 (x + 1))/(x + 1) d x = ([ln 10 * (log_10 (x + 1))^2]|_0^9

int_0^9 (2 log_10 (x + 1))/(x + 1) d x = ln 10 * [ (log_10 1 0)^2 - (log_10 1)^2 ]

int_0^9 (2 log_10 (x + 1))/(x + 1) d x = ln 10 * [ 1 - 0 ]

int_0^9 (2 log_10 (x + 1))/(x + 1) d x = ln 10

Resposta

int_0^9 (2 log_10 (x + 1))/(x + 1) d x = ln 10

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Nos exercícios de 63 a 94, calcule a integral definida. 6 6 . ∫ 0 1 d xe x +e - x
Nos exercícios de 63 a 94, calcule a integral definida. 6 9 . ∫ - 2 2 3 x 2 d x 16 - x 2 3 2
Nos exercícios de 1 a 62, calcule a integral indefinida. 61 . ∫ x n ln ⁡ x d x
Nos exercícios de 63 a 94, calcule a integral definida. 64 . ∫ 1 2 1 1 - x x d x
Nos exercícios de 63 a 94, calcule a integral definida. 63 . ∫ 0 π 2 + 2 cos ⁡ x d x