Enunciado

Calcule a integral

int (d x)/(x (log_8 x)^2)

Passo 1

Questões como esta, que pede apenas para resolvermos uma integral, começam a se tornar complexas. Vamos colocar todos os conhecimentos aprendidos em prática. Podemos calcular integrais definidas, indefinidas, utilizar regra da substituição, etc. Desta forma, é importante termos um domínio dos assuntos prévios. Sempre que necessário, revisaremos quaisquer conceitos!

Passo 2

Vamos começar por analisar a integral que devemos resolver. Vejamos ela abaixo.

int (d x)/(x (log_8 x)^2)

Façamos inicialmente uma mudança de variável. Seja u = log_8 x , consequentemente, temos d u = (d x)/(x ln 8) . Portanto, temos:

int (d x)/(x (log_8 x)^2) = ln 8 int (d u)/(u^2)

E agora chegamos a uma função facilmente integrável!

Passo 3

Vamos obter a primitiva da nossa integral. Desta forma, temos:

ln 8 * int (d u)/(u^2) = ln 8 * - (1)/(u) + k

Voltando para a variável inicial, temos:

- ln 8 * (1)/(u) + k = - (ln 8)/(log_8 x) + k

Portanto, a solução do nosso problema é:

int (d x)/(x (log_8 x)^2) = - (ln 8)/(log_8 x) + k

OBS: Cuidado para não esquecerem da constante k , pois estamos resolvendo uma integral indefinida!

Resposta

int (d x)/(x (log_8 x)^2) = - (ln 8)/(log_8 x) + k

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