Calcule a integral ∫ ( 1 2 θ - π + 2 sec 2 ⁡ ( 2 θ - π ) ) d θ

Passo 1

Perceba que não temos uma primitiva de cara para essa função. Então, vamos ter que usar alguma forma pra sair dessa. A ideia é usar substituição pra poder ficar com uma variável elevada a uma potência que é algo que a gente já sabe resolver, blz?

Então ,chame

u = 2   θ - π     ⇒ d u = 2   d θ ⇒ 1 2 d u = d θ  

Substituindo,

∫ ( 1 2 θ - π + 2 sec 2 ⁡ ( 2 θ - π ) ) d θ = ∫ 1 u + 2 sec 2 ⁡ u 1 2 d u

Usando a regra da constante vezes a integral,

∫ 1 u + 2 sec 2 ⁡ u 1 2 d u =   1 2 ∫ ( u 1 2 + 2 sec 2 ⁡ u ) d u = 1 2 u 1 2 1 2 + 1 2 2   t g   u   +   C

Retornando à nossa variável inicial,

1 2 u 1 2 1 2 + 1 2 2   t g   u   +   C =   2 θ - π 1 2 + t g 2 θ - π +   C

Resposta

∫ ( 1 2 θ - π + 2 sec 2 ⁡ ( 2 θ - π ) ) d θ = 2 θ + π 1 2 + t g 2 θ - π +   C

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