Calcule a integral.

∫ t g ²   2 x . sec 5 ⁡ ( 2 x ) . d x

Passo 1

Fala aí! tudo certinho?

Nesse problema temos que calcular a integral

∫ t g ²   2 x . sec 5 ⁡ ( 2 x ) . d x

Bom galera, antes de começar vamos lembrar de usar a substituição, ok?

u = 2 x

Derivando:

d u = 2 d x →   d u 2 = d x

Veja só!

Passo 2

Substituindo:

∫ t g ²   2 x . sec 5 ⁡ ( 2 x ) . d x → ∫ t g ²   u . sec 5 ⁡ u . d u 2 = 1 2 ∫ t g ²   u . sec 5 ⁡ u d u

Vamos lembrar que:

t g ²   u = s e c ²   u - 1

Então:

∫ t g ²   2 x . sec 5 ⁡ ( 2 x ) . d x = 1 2 ∫ ( s e c ²   u - 1 ) . sec 5 ⁡ u d u

Fazendo a distributiva:

∫ t g ²   2 x . sec 5 ⁡ ( 2 x ) . d x = 1 2 ∫ ( sec 7 ⁡ ( u ) - sec 5 ⁡ u ) d u

∫ t g ²   2 x . sec 5 ⁡ ( 2 x ) . d x = 1 2 ∫ sec 7 ⁡ u d u - ∫ sec 5 ⁡ u d u

Agora vamos resolver cada uma separadamente.

Bora lá!

Passo 3

Vamos começar com:

∫ sec 7 ⁡ u d u

Aqui nós vamos aplicar o que chamamos de redução de integrais:

∫ sec n ⁡ u d u = sec n - 1 ⁡ u . s e n   ( u ) n - 1 + n - 2 n - 1 ∫ sec n - 2 ⁡ u d u

Como temos n = 7 :

∫ sec 7 ⁡ u d u = sec 6 ⁡ u . s e n   ( u ) 6 + 5 6 ∫ sec 5 ⁡ u d u

Mais uma vez para a integral que surgiu, só que agora n = 5 :

∫ sec 5 ⁡ u d u = sec 4 ⁡ u . s e n   ( u ) 4 + 3 4 ∫ sec 3 ⁡ u d u

Então a nossa integral do passo 1 fica:

∫ sec 7 ⁡ u d u = 1 2 sec 6 ⁡ u . s e n   ( u ) 6 + 5 6 sec 4 ⁡ u . s e n   u 4 + 3 4 ∫ sec 3 ⁡ u d u - sec 4 ⁡ u . s e n   u 4 + 3 4 ∫ sec 3 ⁡ u d u

Isolando o termo em comum:

∫ sec 7 ⁡ u d u = 1 2 sec 4 ⁡ u . s e n   u 4 + 3 4 ∫ sec 3 ⁡ u d u sec 6 ⁡ u . s e n   u 6 + 5 6 - 1

∫ sec 7 ⁡ u d u = 1 2 sec 4 ⁡ u . s e n   u 4 + 3 4 ∫ sec 3 ⁡ u d u sec 6 ⁡ u . s e n   u 6 - 1 6

Tranquilo até aqui?

Passo 4

Ainda não acabamos né? Precisamos da integral

∫ sec 3 ⁡ u d u

Vamos separar uma sec 2 ⁡ u , e vocês vão ver que isso vai nos ajudar !

∫ sec 3 ⁡ u d u = ∫ sec 2 ⁡ u . sec ⁡ u d u

Agora podemos resolver por substituição:

v = sec ⁡ u

Derivando pela Regra da Cadeia:

d v = sec ⁡ u . t g   u . d u

O que sobramos é chamado de:

d w = sec 2 ⁡ u d u

Integrando:

w = t g   ( u )

Usando a fórmula da substituição:

∫ sec 3 ⁡ u d u = t g   u . sec ⁡ u - ∫ sec ⁡ u . t g   u . t g   u . d u

∫ sec 3 ⁡ u d u = t g   u . sec ⁡ u - ∫ sec ⁡ u . t g ²   u . d u

Lembrando da identidade do Passo 1:

∫ sec 3 ⁡ u d u = t g   u . sec ⁡ u - ∫ sec ⁡ u . ( s e c ²   u - 1 ) . d u

∫ sec 3 ⁡ u d u = t g   u . sec ⁡ u - ∫ ( sec 3 ⁡ ( u ) - sec ⁡ u ) . d u

∫ sec 3 ⁡ u d u = t g   u . sec ⁡ u - ∫ sec 3 ⁡ u . d u - ∫ sec ⁡ u . d u

∫ sec 3 ⁡ u d u = t g   u . sec ⁡ u - ∫ sec 3 ⁡ u . d u + ln ⁡ | sec ⁡ u + t g   ( u ) |

Isolamos nossa integral:

2 ∫ sec 3 ⁡ u d u = t g   u . sec ⁡ u + ln ⁡ | sec ⁡ u + t g   ( u ) |

∫ sec 3 ⁡ u d u = 1 2 t g   u . sec ⁡ u + ln ⁡ sec ⁡ u + t g   u

Ufaa! Vamos substituir:

∫ sec 3 ⁡ u d u = 1 2 sec 4 ⁡ u . s e n   u 4 + 3 4 1 2 t g   u . sec ⁡ u + ln ⁡ sec ⁡ u + t g   u sec 6 ⁡ u . s e n   u 6 - 1 6

Substituímos o u :

∫ t g ²   2 x . sec 5 ⁡ ( 2 x ) . d x = 1 2 sec 4 ⁡ 2 x . s e n   2 x 4 + 3 4 1 2 t g   2 x . sec ⁡ 2 x + ln ⁡ sec ⁡ 2 x + t g   2 x sec 6 ⁡ 2 x . s e n   2 x 6 - 1 6

E Fiim! Meio complicado, mas espero que tenham entendido! Responde Aí!

Resposta

∫ t g ²   2 x . sec 5 ⁡ ( 2 x ) . d x =     1 2 sec 4 ⁡ 2 x . s e n   2 x 4 + 3 4 1 2 t g   2 x . sec ⁡ 2 x + ln ⁡ sec ⁡ 2 x + t g   2 x × sec 6 ⁡ 2 x . s e n   2 x 6 - 1 6

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