Enunciado

Use um gráfico para encontrar as coordenadas aproximadas x dos pontos de intersecção das curvas dadas. A seguir, ache (aproximadamente) a área da região delimitada pelas curvas.

y = arctg ⁡ 3 x ,   y = 1 2 x

Passo 1

O esboço do gráfico é o seguinte:

Passo 2

Nós encontramos os intervalos encontrando os pontos em que a função se interceptam, e isso acontece quando elas são iguais. Resolvendo essa conta, temos que x = ± a ≈ ± 2.91379 .

Passo 3

Portanto, nossa área é

A = ∫ - a a | arctg ⁡ 3 x - 1 2 x d x = 2 ∫ 0 a ( arctg ⁡ 3 x - 1 2 x d x =

2 [ x arctg ⁡ 3 x - 1 6 ln ⁡ 1 + 9 x 2 - 1 4 x ² ] 0 a

Pelo Exemplo 5, temos que

A ≈ 2 1.39768 = 2.79536

Resposta

A = 2.79536 .

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