Calcule a integral indefinida.

∫ sec 3 ⁡ 1 - 4 x d x

Passo 1

Bem, aqui vamos usar a Regra da Substituição, então mãos a massa, vamos fazer uma mudança de variável para encontrar o valor dessa integral:

u = 1 - 4 x

Vamos agora achar diferencial de u , derivando:

d u = - 4 d x → - 1 4 d u = d x

Agora vamos fazer a substituição:

∫ sec 3 ⁡ 1 - 4 x d x = ∫ - sec 3 ⁡ u 4 d u = - 1 4 ∫ sec 3 ⁡ u d u

Passo 2

Aqui vamos usar a fórmula de Redução:

∫ sec n ⁡ u d u = 1 n - 1 sec n - 2 ⁡ u tg ⁡ u + n - 2 n - 1 ∫ sec n - 2 ⁡ u d u

Vamos substituir agora:

∫ sec n ⁡ u d u = 1 n - 1 sec n - 2 ⁡ u tg ⁡ u + n - 2 n - 1 ∫ sec n - 2 ⁡ u d u →

→ ∫ sec 3 ⁡ u d u = 1 3 - 1 sec 3 - 2 ⁡ u tg ⁡ u + 3 - 2 3 - 1 ∫ sec 3 - 2 ⁡ u d u →

→ ∫ sec 3 ⁡ u d u = 1 2 sec ⁡ u tg ⁡ u + 1 2 ∫ sec ⁡ u d u

Pronto, agora temos uma integral simples de resolver, vamos lá.

Passo 3

Agora é fácil achar as primitivas da função, usando uma expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

∫ sec ⁡ x d x = ln ⁡ sec ⁡ x + tg ⁡ x + C

Agora é só aplicar:

∫ sec ⁡ u d u = ln ⁡ sec ⁡ u + tg ⁡ u + C

Pronto, vamos agora juntar com a expressão toda:

∫ sec 3 ⁡ 1 - 4 x d x = - 1 4 ∫ sec 3 ⁡ u d u = - 1 4 1 2 sec ⁡ u tg ⁡ u + 1 2 ∫ sec ⁡ u d u =

= - 1 4 1 2 sec ⁡ u tg ⁡ u + 1 2 ln ⁡ sec ⁡ u + tg ⁡ u + C = - 1 8 sec ⁡ u tg ⁡ u - 1 8 ln ⁡ sec ⁡ u + tg ⁡ u + C

Passo 4

Calma, não terminou ainda, não esqueça de voltar para a variável x , é só substituir de volta o que você usou no começo:

∫ sec 3 ⁡ 1 - 4 x d x = - 1 8 sec ⁡ u tg ⁡ u - 1 8 ln ⁡ sec ⁡ u + tg ⁡ u + C =

= - 1 8 sec ⁡ 1 - 4 x tg ⁡ 1 - 4 x - 1 8 ln ⁡ sec ⁡ 1 - 4 x + tg ⁡ 1 - 4 x + C

Resposta

∫ sec 3 ⁡ 1 - 4 x d x = - 1 8 sec ⁡ 1 - 4 x tg ⁡ 1 - 4 x - 1 8 ln ⁡ sec ⁡ 1 - 4 x + tg ⁡ 1 - 4 x + C

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