Calcule a integral

∫ sec ⁡ x cos ⁡ 2 x s e n   x + sec ⁡ x d x

Passo 1

Bom galera, nesse exercício iremos utilizar as técnicas de integração estudadas e as estratégias abordadas nesse capítulo para resolver a integral. Dessa forma, queremos encontrar o resultado para a integral da maneira mais prática de acordo com as técnicas de integração deste capítulo.

Passo 2

Podemos reescrever a integral da seguinte maneira

∫ sec ⁡ x cos ⁡ 2 x s e n   x + sec ⁡ x d x = ∫ sec ⁡ x cos ⁡ 2 x s e n   x + sec ⁡ x 2 cos ⁡ x 2 cos ⁡ x d x = ∫ 2 cos ⁡ 2 x 2 s e n   x cos ⁡ x + 2 d x

Podemos simplificar a integral utilizando as relações de arco duplo

∫ 2 cos ⁡ 2 x s e n   ( 2 x ) + 2 d x

Passo 3

Agora, iremos utilizar a seguinte substituição

u = s e n   2 x + 2 ; d u = 2 cos ⁡ 2 x d x

∫ 2 cos ⁡ 2 x s e n   ( 2 x ) + 2 d x = ∫ 1 u d u

Resolvendo a integral, temos

∫ 1 u d u = ln ⁡ u + C

Ao voltar de u para x , temos nossa resposta

ln ⁡ u + C = ln ⁡ ( s e n   2 x + 2 ) + C

Resposta

∫ sec ⁡ x cos ⁡ 2 x s e n   x + sec ⁡ x d x = ln ⁡ ( s e n   2 x + 2 ) + C

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