Calcule a integral

∫ 0 1 x 2 + 1   d x

Passo 1

Bora calcular mais uma integral?! Aqui temos:

∫ 0 1 x 2 + 1   d x

vamos dizer que:

x = tan ⁡ θ

Diferenciando, temos que :

d x = sec 2 ⁡ θ d θ

Tudo beleza?! Vamos calcular os novos limites de integração e substituir isso na nossa integral:

θ i n f e r i o r : 0 = tan ⁡ θ ∴ θ = 0

θ s u p e r i o r : 1 = tan ⁡ θ ∴ θ = π / 4

∫ 0 1 x 2 + 1   d x = ∫ 0 π 4 tan 2 ⁡ θ + 1 sec 2 ⁡ θ d θ

Ta lembrado daquela propriedade trigonométrica: sec 2 ⁡ θ = tan 2 ⁡ θ + 1 ?! Vamos usá-la, então, substituindo:

∫ 0 π 4 tan 2 ⁡ θ + 1 sec 2 ⁡ θ d θ = ∫ 0 π 4 sec 2 ⁡ θ sec 2 ⁡ θ d θ = ∫ 0 π 4 sec 3 ⁡ θ d θ

Passo 2

Esta integral é tabelada, podemos obter o resultado facilmente:

∫ 0 π 4 sec 3 ⁡ θ d θ = 1 2 sec ⁡ θ tan ⁡ θ + ln ⁡ sec ⁡ θ + tan ⁡ θ 0 π 4

= 1 2 2 ⋅ 1 + ln ⁡ 1 + 2 - 0 - ln ⁡ 1 + 0

= 1 2 2 + ln ⁡ 1 + 2

Resposta

∫ 0 1 x 2 + 1   d x = 1 2 2 + ln ⁡ 1 + 2

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