Calcule a integral

∫ 2 3 2 3 d x x 5 9 x 2 - 1

Passo 1

Estas integrais são trabalhosas e você sempre vai precisar pensar, mas com MUITA prática você consegue e vai ver que vai conseguir pensar nas substituições só de bater o olho na integral. Agora chega de papinho e vamos la.

Sugiro o seguinte, vamos dizer que

3 x = sec ⁡ θ

x = sec ⁡ θ 3

Diferenciando, temos que

d x = sec ⁡ θ tan ⁡ θ 3 d θ

Tudo beleza?! Vamos calcular os novos limites de integração e substituir isso na nossa integral

θ i n f e r i o r : 2 = sec ⁡ θ ∴ θ = π 4

θ s u p e r i o r : 2 = sec ⁡ θ ∴ θ = π 3

∫ 2 3 2 3 d x x 5 9 x 2 - 1 = ∫ π 4 π 3 1 sec 5 ⁡ θ 3 5 ⋅ 1 9 sec 2 ⁡ θ 9 - 1 sec ⁡ θ tan ⁡ θ 3 d θ = ∫ π 4 π 3 3 5 sec 5 ⁡ θ ⋅ 1 sec 2 ⁡ θ - 1 ⋅ sec ⁡ θ tan ⁡ θ 3 d θ

Ta lembrado daquela propriedade trigonométrica: sec 2 ⁡ θ - 1 = tan 2 ⁡ θ ?! Vamos usá-la, então, substituindo

∫ π 4 π 3 3 5 sec 5 ⁡ θ ⋅ 1 sec 2 ⁡ θ - 1 ⋅ sec ⁡ θ tan ⁡ θ 3 d θ = ∫ π 4 π 3 3 5 sec 5 ⁡ θ ⋅ 1 tan 2 ⁡ θ ⋅ sec ⁡ θ tan ⁡ θ 3 d θ = 3 4 ∫ π 4 π 3 sec ⁡ θ tan ⁡ θ sec 5 ⁡ θ tan ⁡ θ d θ = 3 4 ∫ π 4 π 3 1 sec 4 ⁡ θ d θ = 3 4 ∫ π 4 π 3 cos 4 ⁡ θ d θ

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a integral de forma indefinida e depois a gente aplica os limites de integração, vamos calcular pelo método de integração por partes

∫ cos 4 ⁡ ( θ ) d θ

Seja u = cos 3 ⁡ ( θ ) , temos que d u = - 3 cos 2 ⁡ ( θ ) sin ⁡ θ d θ

Seja d v = cos ⁡ θ d θ , temos que v = sin ⁡ θ

Então

∫ cos 4 ⁡ ( θ ) d θ = cos 3 ⁡ θ sin ⁡ θ + 3 ∫ cos 2 ⁡ θ sin 2 ⁡ θ d θ

Precisamos lembrar da seguinte propriedade trigonométrica:   sin 2 ⁡ θ cos 2 ⁡ θ = 1 8 1 - cos ⁡ 4 θ . Então, substituindo

cos 3 ⁡ θ sin ⁡ θ + 3 ∫ cos 2 ⁡ θ sin 2 ⁡ θ d θ = cos 3 ⁡ θ sin ⁡ θ + 3 8 ∫ 1 - cos ⁡ 4 θ d θ = cos 3 ⁡ θ sin ⁡ θ + 3 8 θ - 1 4 sin ⁡ 4 θ

Agora, vamos aplicar os limites de integração

∫ π 4 π 3 cos 4 ⁡ θ d θ = cos 3 ⁡ θ sin ⁡ θ + 3 8 θ - 1 4 sin ⁡ 4 θ π 4 π 3 = 2 π + 7 3 64 - 1 4

Passo 3

Agora, podemos calcular o valor da integral

3 4 ∫ π 4 π 3 cos 4 ⁡ θ d θ = 81 2 π + 7 3 64 - 1 4

Resposta

∫ 2 3 2 3 d x x 5 9 x 2 - 1 = 81 2 π + 7 3 64 - 1 4

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